Question

已知，AB是⊙O的直徑，AD、BC是⊙O的切線，P是⊙O上一動點，若AD=3，AB=4，BC=6，求△PCD的面積的最小值是多少？

Answer 1

考點：切線的性質

專題：

分析：由CD是固定的，所以當P到CD的距離最小時△PCD的面積最小，過P作EF∥CD，交AD于點E，交BC于點F，當EF與⊙O相切時，P到CD的距離最短，連接OP并延長交CD于點Q，過O作OH∥BC，交EF于點G，交CD于點H，則可知OH為梯形ABCD的中位線，OG為梯形ABFE的中位線，可求得OH，過D作DM⊥BC于點M，可求得CD=EF=5，由切線長定理可知AE=EP，BF=PF，可得AE+BF=EF=5，可求得OG=2.5，可求得GH=2，又因為OP=2，且

OP

PQ

=

OG

GH

，可求得PQ=1.6，可求得△PCD的面積，可得出答案．

解答：解：∵CD是定值，所以當P到CD的距離最小時△PCD的面積最小，
過P作EF∥CD，交AD于點E，交BC于點F，
當EF與⊙O相切時，P到CD的距離最短，連接OP并延長交CD于點Q，
過O作OH∥BC，交EF于點G，交CD于點H，
則可知OH為梯形ABCD的中位線，OG為梯形ABFE的中位線，
∴OH=

1

2

（AD+BC）=4.5，
過D作DM⊥BC于點M，則DM=AB=4，MC=BC-AD=3，
∴CD=EF=5，
由切線長定理可知AE=EP，BF=PF，
∴AE+BF=EF=5，
∴OG=

1

2

（AE+BF）=2.5，
∴GH=OH-OG=4.5-2.5=2，
又∵OP=2，且

OP

PQ

=

OG

GH

，
∴

2

PQ

=

2.5

2

，
∴PQ=1.6，
∴S_△PCD=

1

2

PQ•CD=

1

2

×1.6×5=4．

點評：本題主要考查切線的性質及平行線分線段成比例、梯形的中位線等知識，確定出△PCD面積最小時的點P的位置是解題的關鍵．在求PQ的長時注意梯形中位線及線段成比例的應用．