Question

已知拋物線與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A（，0），B（，0），（＜）兩點(diǎn)，頂點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為，若，是方程的兩根，且。

（1）、求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)。

（2）、求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)C的坐標(biāo)。

（3）、拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAB的面積等于四邊形ACMB面積的2倍，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

（1）A（﹣1，0），B（3，0）；（2）y=x2﹣2x﹣3；C（0,-3）；（3）存在符合條件的P點(diǎn)，且坐標(biāo)為（1﹣，9），（1+，9）

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)韋達(dá)定理可得出A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，聯(lián)立x12+x22=10，可求出m的值，進(jìn)而可求出A、B的坐標(biāo)．

（2）根據(jù)A、B的坐標(biāo)，可得出拋物線的對(duì)稱軸的解析式，即可求出其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)得出的A、B、M三點(diǎn)的坐標(biāo)，即可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式．

（3）可先求出四邊形ACMB的面積（由于四邊形ACMB不規(guī)則，因此其面積可用分割法進(jìn)行求解）．然后根據(jù)ACMB的面求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值，將其代入拋物線的解析式中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

試題解析：（1）∵若x1，x2是方程x2﹣2（m﹣1）+m2﹣7=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

由題意得：x1+x2═﹣=2（m﹣1），x1x2==m2﹣7．

∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=4（m﹣1）2﹣2（m2﹣7）=10，

化簡(jiǎn)，得m2﹣4m+4=0，

解得m=2．

且當(dāng)m=2時(shí)，△=4﹣4×（﹣3）＞0，符合題意．

∴原方程可寫(xiě)成：x2﹣2x﹣3=0，

∵x1＜x2，

∴x1=﹣1，x2=3；

∴A（﹣1，0），B（3，0）；

（2）已知：A（﹣1，0），B（3，0），

∴拋物線的對(duì)稱軸為x=1，

因此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）．

設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x﹣3），則有：

﹣4=a（1+1）（1﹣3），a=1；

∴y=（x﹣3）（x+1）=x2﹣2x﹣3；

當(dāng)x=0時(shí)，y=-3.所以C（0,-3）

（3）S四邊形ACMB=S△AOC+S梯形OCMN+S△NBM=OA•OC+（OC+MN）•ON+NB•MN，

=×1×3+×（3+4）×1+×2×4=9．

假設(shè)存在P（x0，y0）使得S△PAB=2S四邊形ACMB=18，

即：AB|y0|=18，×4×|y0|=18，

∴y0=±9；

當(dāng)y0=9時(shí)，x2﹣2x﹣3=9，解得x=1﹣，x=1+；

當(dāng)y0=﹣9時(shí)，x2﹣2x﹣3=﹣9，此方程無(wú)實(shí)數(shù)根．

∴存在符合條件的P點(diǎn)，且坐標(biāo)為（1﹣，9），（1+，9）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．