Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y=-2x+12的圖象分別交x軸、y軸于A、B兩點，過點A的直線交y 正半軸于點M，且點M為線段OB的中點．
（1）求直線AM的函數(shù)解析式．
（2）試在直線AM上找一點P，使得S_△ABP=S_△AOM，請直接寫出點P的坐標(biāo)．
（3）點C在直線AM上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點D，使以A、O、C、D為頂點的四邊形是正方形？若存在，請直接寫出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）通過函數(shù)y=-2x+12求出A、B兩點坐標(biāo)，又由點M為線段OB的中點，即可求得點M的坐標(biāo)，然后由待定系數(shù)法求得直線AM的函數(shù)解析式；
（2）設(shè)出P點坐標(biāo)，由兩點間的距離公式，可求得AP的長，然后由等腰直角三角形的性質(zhì)，求得B點到AM的距離，然后由S_△ABP=S_△AOM，可得方程

1

2

×

2

|x-6|×3

2

=18，解此方程即可求得答案；
（3）分OA是正方形的一條邊和OA是正方形的一條對角線兩種情況討論可得點D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵直線AB的函數(shù)解析式y(tǒng)=-2x+12，
∴A（6，0），B（0，12）．
又∵M為線段OB的中點，
∴M（0，6）．
設(shè)直線AM的解析式為：y=kx+b，則

6k+b=0 b=6

，
解得：

k=-1 b=6

，
故直線AM的解析式y(tǒng)=-x+6；

（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為：（x，-x+6），
∴AP=

(x-6)2+(-x+6)2

=

2

|x-6|，
過點B作BH⊥AM于點H，
∵OA=OM，∠AOM=90°，
∴∠AMO=45°，
∴∠BMH=45°，
∴BH=BM•sin45°=6×

2

2

=3

2

，
∵S_△ABM=S_△AOM，
S_△AOM=

1

2

OA•OM=

1

2

×6×6=18，
S_△ABP=

1

2

AP•BH=

1

2

×

2

|x-6|×3

2

，
∴

1

2

×

2

|x-6|×3

2

=18，
解得：x=0或12，
故點P的坐標(biāo)為：（0，6）或（12，-6）．

（3）當(dāng)OA是正方形的一條邊，以A、O、C、D為頂點的四邊形是正方形時，點D的坐標(biāo)為（6，6）；
當(dāng)OA是正方形的一條對角線，以A、O、C、D為頂點的四邊形是正方形時，點D的坐標(biāo)為（3，-3）．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的一次解析式、等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及三角形的面積問題．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想與方程思想的應(yīng)用．