Question

【題目】已知中，過(guò)其中一個(gè)頂點(diǎn)的直線把分成兩個(gè)等腰三角形．

（1）如圖1，若求的值；

　　　　

（2） 度(除外) ；

（3）如圖2，為銳角，在延長(zhǎng)線上，在邊上，平分交于請(qǐng)求線段三者之者的數(shù)量關(guān)系． (用表示)

Answer 1

【答案】（1）；（2）90或108或；（3）

【解析】

（1）如圖，作底角的平分線BD，得到BD=AD，證得△ABC∽△BCD，得到，通過(guò)計(jì)算即可求解；

（2）利用三角形內(nèi)角和定理并分類討論求解；

（3）過(guò)Q作QH∥AP交AK的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，作QG⊥AK于G，利用三角函數(shù)和等腰三角形的性質(zhì)求得，，再利用相似三角形的性質(zhì)得到，即可求得線段三者之者的數(shù)量關(guān)系．

（1）如圖，作底角的平分線BD，

∵AB=AC，，

∴，

∴，

∴BD=AD，

∴△ABC∽△BDC，

∴，即，

∴，

設(shè)，則，

∴，

整理得：，

解得：(負(fù)值已舍)，

經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，

∴；

（2）①如圖1，

當(dāng)過(guò)頂角的頂點(diǎn)的直線把它分成了兩個(gè)等腰三角形，則AB=AC，AD=CD=BD，
設(shè)∠B=，
則∠BAD=∠B=，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=，
∴∠CAD=∠C=，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴，
解得，
則；
②如圖2，

AB=AC=CD，BD=AD，
設(shè)∠C=，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C=，
∵BD=AD，
∴∠BAD=∠B=，
∴∠ADC=∠B+∠BAD=2，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠ADC=2，
∴∠BAC=3，
∴，

，

則；
③如圖3，

當(dāng)過(guò)底角的角平分線把它分成了兩個(gè)等腰三角形，則有AB=AC，BC=BD=AD，
設(shè)∠BAC=，
∵BD=AD，
∴∠ABD=∠BAC=，
∴∠CDB=∠ABD+∠BAC=2，
∵BC=BD，
∴∠C=∠CDB=2，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C=2，
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，
∴+2+2=180°，
=36°，
則=36°；
④如圖4，

當(dāng)∠BAC=，AD=BD，BC=DC，也符合，

∴∠BAC=∠ABD=，∠DBC=∠BDC=2，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=3，

則+3+3 =180°，

；

綜上，除36外，可以是90或108或；

故答案為：90或108或；

（3）過(guò)Q作QH∥AP交AK的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，作QG⊥AK于G，如圖：

∵∠PAQ=，AK平分∠PAQ，

∴∠PAH=∠QAH=，

∴，，

∴，

∴，

∵QH∥AP，

∴△HQK∽△APK，

∴，

∴，

∴，

故答案為：．