【題目】如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°，∠ACB＝30°，BC＝，點(diǎn)D在邊BC上，連接AD，在AD上方作等邊三角形ADE，連接EC．

(1)求證：DE＝CE；

(2)若點(diǎn)D在BC延長線上，其他條件不變，直接寫出DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系(不必證明)；

(3)當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿著線段BC運(yùn)動到點(diǎn)C時，求點(diǎn)E的運(yùn)動路徑長．

【答案】（1）證明見解析；（2）DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系為：；（3）點(diǎn)E的運(yùn)動路徑長為.

【解析】

（1）如圖（見解析），取AC的中點(diǎn)F，連接BF、EF，利用直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)推出，再由全等三角形的性質(zhì)得，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得是等腰三角形，則有，又因，即可得證；

（2）如圖（見解析），取AC的中點(diǎn)G，連接BG、EG，利用直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)推出，再由全等三角形的性質(zhì)得，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得是等腰三角形，則有，又因，從而可得；

（3）先確定點(diǎn)E的運(yùn)動路徑，再利用直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可求得.

（1）如圖，取AC的中點(diǎn)F，連接BF、EF

中，

是等邊三角形

又是等邊三角形

在和中，

是等腰三角形，且

，即；

（2）DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系為：，證明如下（注：考試時不要求）：

如圖，取AC的中點(diǎn)G，連接BG、EG

中，

是等邊三角形

又是等邊三角形

在和中，

是等腰三角形，且

，即；

（3）如圖，取AC的中點(diǎn)H，連接OH

由題（1）可知，當(dāng)點(diǎn)D沿著線段BC運(yùn)動時，一定是等腰三角形

即點(diǎn)E一定在AC的垂直平分線上

因此，當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)B出發(fā)沿著線段BC運(yùn)動到點(diǎn)C時，點(diǎn)E是從點(diǎn)H出發(fā)沿著HO運(yùn)動到點(diǎn)O，如圖，HO即為所求

中，

由題意得，是等邊三角形

由勾股定理得：

故所求的點(diǎn)E的運(yùn)動路徑長為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分線，將三角尺的直角頂點(diǎn)P放在射線OM上，兩直角邊分別與OA，OB交于點(diǎn)C，D．

（1）證明：PC=PD．

（2）若OP=4，求OC+OD的長度．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（2017貴州省遵義市）如圖，拋物線（a＜0，a、b為常數(shù)）與x軸交于A、C兩點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)，直線AB的函數(shù)關(guān)系式為．

（1）求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式與C點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）已知點(diǎn)M（m，0）是線段OA上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點(diǎn)，當(dāng)m為何值時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形？

（3）在（2）問條件下，當(dāng)△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時，動點(diǎn)M相應(yīng)位置記為點(diǎn)M′，將OM′繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)得到ON（旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間）；

①探究：線段OB上是否存在定點(diǎn)P（P不與O、B重合），無論ON如何旋轉(zhuǎn)，始終保持不變，若存在，試求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

②試求出此旋轉(zhuǎn)過程中，（NA+NB）的最小值．

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【題目】如圖，∠AOB＝60°，點(diǎn)M，N分別是射線OA，OB上的動點(diǎn)，OP平分∠AOB，OP＝8，當(dāng)△PMN周長取最小值時，△OMN的面積為_____．

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【題目】已知拋物線與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)左側(cè)），是拋物線外一點(diǎn)，在拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)，使得值最大，則點(diǎn)坐標(biāo)是________．

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【題目】在中給定下面幾組條件：

①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；

②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；

③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；

④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．

若根據(jù)每組條件畫圖，則能夠唯一確定的是___________（填序號）.

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【題目】在平面內(nèi)，給定∠AOB=60°，及OB邊上一點(diǎn)C，如圖所示．到射線OA，OB距離相等的所有點(diǎn)組成圖形G，線段OC的垂直平分線交圖形G于點(diǎn)D，連接CD．

（1）依題意補(bǔ)全圖形；直接寫出∠DCO的度數(shù)；

（2）過點(diǎn)D作OD的垂線，交OA于點(diǎn)E，OB于點(diǎn)F．求證：CF=DE．

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【題目】連接正八邊形的三個頂點(diǎn)，得到如圖所示的圖形，下列說法錯誤的是（ ）

A. 是等邊三角形

B. 連接，則分別平分和

C. 整個圖形是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形

D. 四邊形與四邊形的面積相等

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【題目】如圖為二次函數(shù)的圖象，、、為拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，且，則下列關(guān)系中正確的是（ ）

A. ac<0 B. b<2a C. a+b=-1 D. a-b=-1

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