Question

武漢晚報(bào)上有一個(gè)正方移動(dòng)的廣告銀幕（正方形ABCD），如圖所示，其邊長為60cm，點(diǎn)E、F、F、H分別位于正方形ABCD的四條邊上，正方形ABCD被分成四個(gè)完全一樣的直角三角形和一個(gè)小正方形EFGH，在一個(gè)直角三角形上刊登廣告的費(fèi)用為0.2元/cm²天，在正方形EFGH上刊登廣告的費(fèi)用為0.1元/cm²天，設(shè)AE=x（cm），正方形EFGH的面積為s（cm²），一天的總廣告費(fèi)總是w（元）．
（1）x為何值時(shí)，小正方形EFGH的面積占大正方形ABCD的面積的

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；
（2）求出一天總廣告費(fèi)用w（元）與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求當(dāng)x為何值時(shí)，一天總廣告費(fèi)用最多？最多費(fèi)用是多少？

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用,二次函數(shù)的應(yīng)用,正方形的性質(zhì)

專題：幾何圖形問題

分析：（1）由正方形ABCD被分成四個(gè)完全一樣的直角三角形和一個(gè)小正方形EFGH，可知當(dāng)AE=x時(shí)，AH=BE=60-x，利用勾股定理求出HE²=AE²+AH²=x²+（60-x）²，再根據(jù)小正方形EFGH的面積占大正方形ABCD的面積的

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列出方程，解方程即可；
（2）一天總廣告費(fèi)用w=0.2×四個(gè)直角三角形的面積+0.1×正方形EFGH的面積；
（3）將（2）中所求關(guān)系式利用配方法改寫成頂點(diǎn)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，求解即可．

解答：解：（1）由題意，可得AE=x時(shí)，AH=BE=60-x，HE²=AE²+AH²=x²+（60-x）²，
∵小正方形EFGH的面積占大正方形ABCD的面積的

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，
∴x²+（60-x）²=

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×60²，
整理得x²-60x+875=0，
解得x=25或35．
答：x為25cm或35cm時(shí)，小正方形EFGH的面積占大正方形ABCD的面積的

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；

（2）w=0.2×4×

1

2

x（60-x）+0.1×[x²+（60-x）²]
=0.4x（60-x）+0.1×[2x²-120x+3600]
=24x-0.4x²+0.2x²-12x+360
=-0.2x²+12x+360；

（3）∵w=-0.2x²+12x+360
=-0.2（x²-60x）+360
=-0.2（x-30）²+540，
∴當(dāng)x=30時(shí)，w有最大值，即一天總廣告費(fèi)用最多，最多費(fèi)用是540元．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，難度適中．