Question

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=

1

2

，點D在邊AC上（不與A、C重合），連結(jié)BD，F(xiàn)為BD中點．

（1）若過點D作DE⊥AB于E，連結(jié)CF、EF、CE，如圖1，當(dāng)D為AC中點時，求tan∠DBE的值；
（2）若將圖1中的△ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，使得D、E、B三點共線，點F仍為BD中點，如圖2所示，求證：BE-DE=2CF；
（3）若BC=3AD=6，將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)，點F始終為BD的中點，則線段CF長度的最大值為

 

．

Answer 1

考點：幾何變換綜合題

專題：

分析：（1）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出

DE

AE

=

BC

AC

=

1

2

，進而利用未知數(shù)表示出DE，AE，BE的長，進而得出答案；
（2）過點C作CE的垂線交BD于點G，設(shè)BD與AC的交點為Q．由tan∠BAC=

1

2

，得到

BC

AC

=

DE

AE

=

1

2

．證明△BCG∽△ACE，得到

BC

AC

=

GB

AE

=

1

2

．得到GB=DE，得到F是EG中點．于是CF=

1

2

EG，即可得到BE-DE=EG=2CF；
（3）分類討論：當(dāng)AD=

1

3

AC時，取AB的中點M，連接MF和CM，tan∠BAC=

1

2

，且BC=6，計算出AC=12，AB=6

5

．M為AB中點，則CM=3

5

，F(xiàn)M=

1

2

AD=2．當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點共線且M在線段CF上時CF最大，此時CF=CM+FM=2+3

5

；當(dāng)AD=

2

3

AC時，取AB的中點M，連接MF和CM，類似于情況1，可知CF的最大值為4+3

5

．即可得到線段CF長度的最大值．

解答：解：（1）設(shè)DE=x，
∵DE⊥AB，tan∠BAC=

1

2

，
∴

DE

AE

=

BC

AC

=

1

2

，
故AE=2x，則AD=

5

x，
∵D為AC中點，
∴AC=2

5

x，
則BC=

5

x，
由勾股定理得出：AB=5x，
則BE=3x，
故tan∠DBE的值為：

DE

BE

=

x

3x

=

1

3

；

（2）如圖2，過點C作CE的垂線交BD于點G，設(shè)BD與AC的交點為Q．
由題意，tan∠BAC=

1

2

，
∴

BC

AC

=

DE

AE

=

1

2

．
∵D、E、B三點共線，
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴

BC

AC

=

GB

AE

=

1

2

．
∴GB=DE．
∵F是BD中點，
∴F是EG中點．
在Rt△ECG中，CF=

1

2

EG，
∴BE-DE=EG=2CF；

（3）情況1：如圖3，當(dāng)AD=

1

3

AC時，取AB的中點M，連接MF和CM，
∵∠ACB=90°，tan∠BAC=

1

2

，且BC=6，
∴AC=12，AB=6

5

．
∵M為AB中點，
∴CM=3

5

，
∵AD=

1

3

AC，
∴AD=4
．∵M為AB中點，F(xiàn)為BD中點，
∴FM=

1

2

AD=2．
如圖4：當(dāng)且僅當(dāng)M、F、C三點共線且M在線段CF上時CF最大，
此時CF=CM+FM=2+3

5

．
情況2：如圖5，當(dāng)AD=

2

3

AC時，取AB的中點M，連接MF和CM，
類似于情況1，可知CF的最大值為4+3

5

．
綜合情況1與情況2，可知當(dāng)點D在靠近點C的三等分點時，線段CF的長度取得最大值為：4+3

5

．
故答案為：4+3

5

．

點評：本題考查了三角形相似的判定與性質(zhì)．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和三角函數(shù)的定義以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．