Question

如圖1，在平面直角坐標系中，⊙O交y軸正半軸于A，弦交x軸于C，⊙O的切線BP交x軸于P，已知：C（1，0），BP=4．
（1）求⊙O的半徑；
（2）如圖2，直線EF的解析式為：y=

3

4

x-6，交x軸于E，交y軸于F，把⊙O沿x軸正方向平移至⊙O₁與線段EF相切，求點O₁的坐標；
（3）在（2）的基礎(chǔ)上，直線EF上存在點D，將直線EF繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60°后對應(yīng)的直線恰好與⊙O₁相切，求點D的坐標．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連結(jié)OB，根據(jù)切線的性質(zhì)得OB⊥PB，則∠3+∠4=90°，而∠3=∠5，∠2+∠5=90°，∠1=∠2，所以∠1=∠4，則PC=PB=4，可得到OP=5，根據(jù)勾股定理可計算出OB=3；
（2）作O₁M⊥EF于M，先確定F點坐標為（0，-6），E點坐標為（8，0），則EF=10，由EF為⊙O₁的切線得到O₁M=3，再證明△O₁EM∽△FEO，利用相似比可得到O₁E=5，則OO₁=3，所以點O₁的坐標為（3，0）；
（3）DG為⊙O₁的切線，G為切點，連結(jié)O₁G，O₁D，作DH⊥x軸于H，則∠FDG=60°，先根據(jù)勾股定理得EM=4，由DG和DM為⊙O₁的切線，根據(jù)切線長定理得∠O₁DG=∠O₁DM=60°，則∠DO₁M=30°，所以DM=

3

3

O₁M=

3

，則DB=EM+DM=4+

3

，由△EDH∽△EFO得到

DH

6

=

EH

8

=

4+ 3

10

，可計算出DH=

12+3 3

5

，EH=

16+4 3

5

，所以O(shè)H=OE-EH=

24-4 3

5

，于是得到D點坐標為（

24-4 3

5

，-

12+3 3

5

），同理將直線OD沿FE方向平移使得與圓O另外一邊相切．

解答：解：（1）連結(jié)OB，如圖，
∵PB為⊙O的切線，
∴OB⊥PB，
∴∠3+∠4=90°，
∵OA=OB，
∴∠3=∠5，
∴∠5+∠4=90°，
∵∠2+∠5=90°，
而∠1=∠2，
∴∠1+∠5=90°，
∴∠1=∠4，
∴PC=PB=4，
∵C點坐標為（1，0），
∴OP=5，
∴OB=

OP2-PB2

=3，
即⊙O的半徑為3；
（2）作O₁M⊥EF于M，如圖，
把x=0代入y=

3

4

x-6得y=-6；把y=0代入y=

3

4

x-6得

3

4

x-6=0，解得x=8，
∴F點坐標為（0，-6），E點坐標為（8，0），
∴OF=6，OE=8，
∴EF=

OE2+OF2

=10，
∵EF為⊙O₁的切線，
∴O₁M=3，
∵∠O₁EM=∠FEO，
∴△O₁EM∽△FEO，
∴

O1E

EF

=

O1M

OF

，即

O1E

10

=

3

6

，解得O₁E=5，
∴OO₁=8-5=3，
∴點O₁的坐標為（3，0）；
（3）如圖，DG為⊙O₁的切線，G為切點，連結(jié)O₁G，O₁D，作DH⊥x軸于H，則∠FDG=60°，
在Rt△O₁EM中，O₁M=3，O₁E=5，
∴EM=

52-32

=4，
∵DG和DM為⊙O₁的切線，
∴∠O₁DG=∠O₁DM=60°，
∴∠DO₁M=30°，
∴DM=

3

3

O₁M=

3

，
∴DB=EM+DM=4+

3

，
∵DH∥OF，
∴△EDH∽△EFO，
∴

DH

OF

=

EH

EO

=

ED

EF

，即

DH

6

=

EH

8

=

4+ 3

10

，
∴DH=

12+3 3

5

，EH=

16+4 3

5

，
∴OH=OE-EH=

24-4 3

5

，
∴D點坐標為（

24-4 3

5

，-

12+3 3

5

），
同理將直線OD沿FE方向平移使得與圓O另外一邊相切，D點坐標為（

24+11 3

5

，

3-3 3

5

）．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握切線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；會運用勾股定理和相似比進行幾何計算．