Question

已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=2

3

，若以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA所在直線為x軸，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，點B在第一象限內(nèi)，將Rt△OAB沿OB折疊后，點A落在第一象限內(nèi)的點C處．
（1）求A、B、C三點的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過點O、C、A三點的拋物線的解析式，并求拋物線的對稱軸與線段OB交點D的坐標(biāo)；
（3）在線段OD上有一點P，過P作直線PM∥CD，交拋物線于點M，若四邊形PDCM是平行四邊形，求P點的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）通過解直角三角形求得AO、AB的值，從而得出A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)折疊的性質(zhì)可知：∠COB=30°，OC=OA=2

3

，進(jìn)而得出∠COH=60°，OH=

3

，CH=3，所以C點的坐標(biāo)為（

3

，3）；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法求得拋物線的解析式和直線OB的解析式，由兩個解析式構(gòu)成方程組，解這個方程組即可求得交點D的坐標(biāo)．
（3）根據(jù)拋物線的解析式和直線BO的解析式設(shè)出P、M的坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：對應(yīng)邊相等列出方程，解方程即可．

解答：解：（1）∵在RT△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=2

3

，
∴OB=

cos30°

AO

=4，AB=2，
∵AO=2

3

，AB=2，
∴A（2

3

，0），B（2

3

，2），
過點C作CH⊥x軸于H，
有折疊的性質(zhì)可知：∠COB=30°，OC=OA=2

3

，
∴∠COH=60°，OH=

3

，CH=3，
∴C點的坐標(biāo)為（

3

，3）；

（2）∵O點的坐標(biāo)為（0，0），
∴拋物線的解析式為y=ax²+bx，（a≠0），
∵經(jīng)過點C（

3

，3）、A（2

3

，0），
∴

3=3a+ 3 b 0=12a+2 3 b

 解得：

a=-1 b=2 3

，
∴此拋物線的函數(shù)關(guān)系式為：y=-x²+2

3

x，
∵AO=2

3

，AB=2，
∴B（2

3

，2），
∴設(shè)直線BO的解析式為：y=kx，
則2=2

3

k，
解得：k=

3

3

∴直線BO為：y=

3

3

x，
∵拋物線y=-x²+2

3

x的對稱軸為x=-

2 3

-2

=

3

，
∴代入y=

3

3

x得：y=1，
∴拋物線的對稱軸與線段OB交點D的坐標(biāo)（

3

，1）．

（3）如圖，由（2）可知：拋物線的對稱軸為x=

3

，C（

3

，3）
∴C點就是拋物線的頂點，
∵四邊形PDCM是平行四邊形，
∴PM∥CD∥y軸，PM=CD，
∵C（

3

，3），D（

3

，1）．
∴CD=2，
設(shè)P（m，

3

3

m），則M（m，-m²+2

3

m），
∴PM=-m²+2

3

m-

3

3

m，
∴-m²+2

3

m-

3

3

m=2，
解得：m=

3

（舍去），m=

2 3

3

，
∴P（

2 3

3

，

2

3

）．

點評：本題考查了直角三角形的三角函數(shù)的求值，待定系數(shù)法求解析式，函數(shù)圖象的交點坐標(biāo)，拋物線的對稱軸和頂點坐標(biāo)，平行四邊形的性質(zhì)等；