【題目】如圖,矩形AOCB的頂點A、C分別位于x軸和y軸的正半軸上,線段OA、OC的長度滿足方程|x﹣15|+ =0(OA>OC),直線y=kx+b分別與x軸、y軸交于M、N兩點,將△BCN沿直線BN折疊,點C恰好落在直線MN上的點D處,且tan∠CBD=

(1)求點B的坐標;
(2)求直線BN的解析式;
(3)將直線BN以每秒1個單位長度的速度沿y軸向下平移,求直線BN掃過矩形AOCB的面積S關于運動的時間t(0<t≤13)的函數(shù)關系式.

【答案】
(1)解:∵|x﹣15|+ =0,

∴x=15,y=13,

∴OA=BC=15,AB=OC=13,

∴B(15,13)


(2)解:如圖1,過D作EF⊥OA于點E,交CB于點F,

由折疊的性質可知BD=BC=15,∠BDN=∠BCN=90°,

∵tan∠CBD= ,

= ,且BF2+DF2=BD2=152,解得BF=12,DF=9,

∴CF=OE=15﹣12=3,DE=EF﹣DF=13﹣9=4,

∵∠CND+∠CBD=360°﹣90°﹣90°=180°,且∠ONM+∠CND=180°,

∴∠ONM=∠CBD,

= ,

∵DE∥ON,

= = ,且OE=3,

= ,解得OM=6,

∴ON=8,即N(0,8),

把N、B的坐標代入y=kx+b可得 ,解得

∴直線BN的解析式為y= x+8


(3)解:設直線BN平移后交y軸于點N′,交AB于點B′,

當點N′在x軸上方,即0<t≤8時,如圖2,

由題意可知四邊形BNN′B′為平行四邊形,且NN′=t,

∴S=NN′OA=15t;

當點N′在y軸負半軸上,即8<t≤13時,設直線B′N′交x軸于點G,如圖3,

∵NN′=t,

∴可設直線B′N′解析式為y= x+8﹣t,

令y=0,可得x=3t﹣24,

∴OG=24,

∵ON=8,NN′=t,

∴ON′=t﹣8,

∴S=S四邊形BNN′B′﹣SOGN′=15t﹣ (t﹣8)(3t﹣24)=﹣ t2+39t﹣96;

綜上可知S與t的函數(shù)關系式為S=


【解析】(1)由兩個非負數(shù)的和為0,每個非負數(shù)均為0可得x=15,y=13,即B(15,13);(2)要利用三角函數(shù)tan∠CBD= ,就須過D作垂線,把∠CBD放在直角三角形中,再由平行線分線段成比例列出方程,求出OM=6,利用待定系數(shù)法求出直線BN的解析式;(3)須動手操作平移BN,可發(fā)現(xiàn)掃過的圖形分為平行四邊形和五邊形兩種,當NN′B′為平行四邊形時面積利用底高;當掃過面積為五邊形時,用作差法S四邊形BNN′B′﹣SOGN′,用t 的代數(shù)式表示兩部分面積即可.
【考點精析】認真審題,首先需要了解函數(shù)關系式(用來表示函數(shù)關系的數(shù)學式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關系式).

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