【題目】如圖,雙曲線y= 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2),過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線,垂足為B,交雙曲線y=﹣ 于點(diǎn)C,直線y=m(m≠0)分別交雙曲線y=﹣ 、y= 于點(diǎn)P、Q.
(1)求k的值;
(2)若△OAP為直角三角形,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)△OCQ的面積記為S△OCQ , △OAP的面積記為S△OAP,試比較S△OCQ與S△OAP的大。ㄖ苯訉(xiě)出結(jié)論).
【答案】
(1)解:∵雙曲線y= 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2),
∴k=1×2=2;
(2)解:設(shè)P(﹣ ,m),
∵A(1,2),
∴OA2=12+22=5,AP2=(1+ )2+(2﹣m)2,OP2=( )2+m2,
當(dāng)∠AOP=90°時(shí),
∵OA2+OP2=AP2,即5+( )2+m2=(1+ )2+(2﹣m)2,解得m=±3,
∴P1(﹣6,3),P2(6,﹣3);
當(dāng)∠OAP=90°時(shí),
∵OA2+AP2=OP2,即5+(1+ )2+(2﹣m)2=( )2+m2,解得m= ,
∴P3( ),P4( );
當(dāng)∠APO=90°時(shí),此種情況不存在;
(3)解:∵A(1,2),
∴C(﹣9,2).
設(shè)P(﹣ ,m),則Q( ,m),
分別過(guò)點(diǎn)A、Q、P、C作x軸的垂線,垂足分別為M、N、K、H,
∵點(diǎn)A、Q在反比例函數(shù)y= 的圖象上,
∴S△AOM=S△QON=1.
∵點(diǎn)C、P在反比例函數(shù)y=﹣ 的圖象上,
∴S△COH=S△POK=9.
S△OCQ=S梯形CHNQ﹣S△COH﹣S△POK,S△OAP=S梯形AMKP﹣S△AOM﹣S△POK,
∴S△OCQ﹣S△OAP=S梯形CHNQ﹣S梯形AMKP,
∵梯形CHNQ與梯形AMKP的上底與下底相同,
∴只要比較HN與KM的大小即可,
∵HN﹣KM=(9+ )﹣(1+ )=8﹣ ,
∴當(dāng)m=±2時(shí),HN=KM,即S△OCQ=S△OAP;
當(dāng)m>2或m<﹣2時(shí),8﹣ >0,即S△OCQ>S△OAP;
當(dāng)﹣2<m<2時(shí),8﹣ <0,即S△OCQ<S△OAP.
【解析】(1)將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求出k的值。
(2)設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)A、P、O的坐標(biāo),分別求出OA2、AP2、OP2,再分三種情況討論:當(dāng)∠AOP=90°時(shí),得出OA2+OP2=AP2,建立關(guān)于m的方程,求解即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);當(dāng)∠OAP=90°時(shí),則OA2+AP2=OP2,建立關(guān)于m的方程,求解即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo);當(dāng)∠APO=90°時(shí),此種情況不存在。
(3)根據(jù)點(diǎn)A(1,2)可得出C(﹣9,2).分別設(shè)出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo),分別過(guò)點(diǎn)A、Q、P、C作x軸的垂線,垂足分別為M、N、K、H,再由反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)得出△AOM、△QON、△COH、△POK的面積,然后根據(jù)S△OCQ﹣S△OAP=S梯形CHNQ﹣S梯形AMKP,由于梯形CHNQ與梯形AMKP的上底與下底相同,因此只需比較HN與KM的大小即可,從而分三種情況討論,可求得結(jié)論。
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握性質(zhì):當(dāng)k>0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限,在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減。 當(dāng)k<0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限,在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大,以及對(duì)三角形的面積的理解,了解三角形的面積=1/2×底×高.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】一輛汽車(chē)在某次行駛過(guò)程中,油箱中的剩余油量y(升)與行駛路程x(千米)之間是一次函數(shù)關(guān)系,其部分圖象如圖所示.
(1)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式;(不需要寫(xiě)定義域)
(2)已知當(dāng)油箱中的剩余油量為8升時(shí),該汽車(chē)會(huì)開(kāi)始提示加油,在此次行駛過(guò)程中,行駛了500千米時(shí),司機(jī)發(fā)現(xiàn)離前方最近的加油站有30千米的路程,在開(kāi)往該加油站的途中,汽車(chē)開(kāi)始提示加油,這時(shí)離加油站的路程是多少千米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1)如圖,正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,∠EAF=45°,延長(zhǎng)CD到點(diǎn)G,使DG=BE,連結(jié)EF,AG.求證:EF=FG.
(2)如圖,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點(diǎn)M,N在邊BC上,且∠MAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】雙蓉服裝店老板到廠家購(gòu)A、B兩種型號(hào)的服裝,若購(gòu)A種型號(hào)服裝9件,B種型號(hào)服裝10件,需要1810元;若購(gòu)進(jìn)A種型號(hào)服裝12件,B種型號(hào)服裝8件,需要1880元.
(1)求A、B兩種型號(hào)的服裝每件分別為多少元?
(2)若銷(xiāo)售一件A型服裝可獲利18元,銷(xiāo)售一件B型服裝可獲利30元,根據(jù)市場(chǎng)需要,服裝店老板決定:購(gòu)進(jìn)A型服裝的數(shù)量要比購(gòu)進(jìn)B型服裝的數(shù)量的2倍還多4件,且A型服裝最多可購(gòu)進(jìn)28件,這樣服裝全部售出后可使總的獲利不少于699元,問(wèn)有幾種進(jìn)貨方案?如何進(jìn)貨?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(1) 定義:直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.如:直角三角形的直角邊分別為3、4,則斜邊的平方=32+42=25.已知:Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,AB=10,直接寫(xiě)出BC2=__________________.
(2)應(yīng)用:已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P為AD邊上的一點(diǎn),AP= ,請(qǐng)利用“兩點(diǎn)之間線段最短”這一原理,在線段AC上畫(huà)出一點(diǎn)M,使MP+MD最小,并直接寫(xiě)出最小值的平方為_____________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(知識(shí)生成)
通常情況下、用兩種不同的方法計(jì)算同一圖形的面積,可以得到一個(gè)恒等式.
(1)如圖 1,請(qǐng)你寫(xiě)出之間的等量關(guān)系是
(知識(shí)應(yīng)用)
(2)根據(jù)(1)中的結(jié)論,若,則
(知識(shí)遷移)
類(lèi)似地,用兩種不同的方法計(jì)算同一幾何體的情況,也可以得到一個(gè)恒等式.如圖 是邊長(zhǎng)為的正方體,被如圖所示的分割成 塊.
(3)用不同的方法計(jì)算這個(gè)正方體的體積,就可以得到一個(gè)等式,這個(gè)等式可以是
(4)已知,,利用上面的規(guī)律求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C,且AD⊥MN于D, BE⊥MN于E.
(1)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖1的位置時(shí),求證:△ADC≌△CEB;
(2)當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時(shí),試問(wèn)DE、AD、BE的等量關(guān)系?并說(shuō)明理由.
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