Question

如圖，以半圓的一條弦BC為對(duì)稱軸將弧BC折疊后與直徑AB交于點(diǎn)D，若AD=4，BD=6，則CB的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：計(jì)算題

分析：作DH⊥BC于H，交半圓于F，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥AB于E，連結(jié)AF、BF、AC，如圖，根據(jù)折疊的性質(zhì)得BF=BD=6，DH=FH，再根據(jù)圓周角定理得∠AFB=90°，在Rt△AFB中利用勾股定理計(jì)算出AF=8，接著利用面積法計(jì)算出EF=

24

5

，在Rt△BEF中根據(jù)勾股定理計(jì)算出BE=

18

5

，則DE=BD-BE=

12

5

，再在Rt△DEF中根據(jù)勾股定理計(jì)算出DF=

12 5

5

，則DH=

1

2

DF=

6 5

5

，接著在Rt△BDH中利用勾股定理又可計(jì)算出BH=

12 5

5

，然后證明DH∥AC，利用比例線段可計(jì)算出BC．

解答：解：作DH⊥BC于H，交半圓于F，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥AB于E，連結(jié)AF、BF、AC，如圖，
∵以半圓的弦BC為對(duì)稱軸將弧BC折疊后與直徑AB交于點(diǎn)D，
∴BF=BD=6，DH=FH，
∵AB為直徑，
∴∠AFB=90°，
在Rt△AFB中，∵AB=AD+BD=10，BF=6，
∴AF=

AB2-BF2

=8，
∴

1

2

EF•AB=

1

2

AF•BF，
∴EF=

6×8

10

=

24

5

，
在Rt△BEF中，∵EF=

24

5

，BF=6，
∴BE=

BF2-EF2

=

18

5

，
∴DE=BD-BE=6-

18

5

=

12

5

，
在Rt△DEF中，∵EF=

24

5

，DE=

12

5

，
∴DF=

EF2+DE2

=

12 5

5

，
∴DH=

1

2

DF=

6 5

5

，
在Rt△BDH中，∵BD=6，DH=

6 5

5

，
∴BH=

BD2-DH2

=

12 5

5

，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∴DH∥AC，
∴

BH

BC

=

BD

BA

，即

12 5 5

BC

=

6

10

∴BC=4

5

．
故答案為4

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了圓的對(duì)稱性、圓周角定理和勾股定理．