Question

（1）如圖1，點(diǎn)E是正△ABC高AD上的一定點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)贏B上找一點(diǎn)F，使EF=

1

2

AE，并說(shuō)明理由；
（2）如圖2，點(diǎn)M是邊長(zhǎng)為2的正△ABC高AD上的一動(dòng)點(diǎn)，求

1

2

AM+MC的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱(chēng)-最短路線(xiàn)問(wèn)題,等邊三角形的性質(zhì),含30度角的直角三角形

專(zhuān)題：

分析：（1）作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BAD=30°，根據(jù)30°角的直角三角形的性質(zhì)得出EF=

1

2

AE；
（2）根據(jù)題意得出C，M，N在一條直線(xiàn)上時(shí)，此時(shí)

1

2

AM+MC最小，進(jìn)而求得即可．

解答：解：（1）如圖1，作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求．

理由如下：∵點(diǎn)E是正△ABC高AD上的一定點(diǎn)，
∴∠BAD=30°，
∵EF⊥AB，
∴EF=

1

2

AE；
                                
（2）如圖2，作CN⊥AB，垂足為點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)M，此時(shí)

1

2

AM+MC最小，最小為CN的長(zhǎng)．

∵△ABC是邊長(zhǎng)為2的正△ABC，
∴CN=BC•sin60°=2×

3

2

=

3

，
∴MN+CM=

1

2

AM+MC=

3

，
即

1

2

AM+MC的最小值為

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和勾股定理等知識(shí)，利用特殊角的三角函數(shù)關(guān)系得出是解題關(guān)鍵．