Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，以AC邊為直徑作⊙O交BC邊于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，ED、AC的延長線交于點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若EB= ，且sin∠CFD= ，求⊙O的半徑與線段AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連結(jié)OD，如圖，

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACD，

∵OC=OD，

∴∠ODC=∠OCD，

∴∠B=∠ODC，

∴OD∥AB，

∵DE⊥AB，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切線

（2）解：在Rt△ODF，sin∠OFD= = ，

設(shè)OD=3x，則OF=5x，

∴AB=AC=6x，AF=8x，

在Rt△AEF中，∵sin∠AFE= = ，

∴AE= 8x= x，

∵BE=AB﹣AE=6x﹣ x= x，

∴ x= ，解得x= ，

∴AE= =6，

OD=3 = ，

即⊙O的半徑長為 ．

【解析】（1）連結(jié)OD，如圖，由AB=AC得到∠B=∠ACD，由OC=OD得到∠ODC=∠OCD，則∠B=∠ODC，于是可判斷OD∥AB，然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；（2）在Rt△ODF利用正弦的定義得到sin∠OFD= = ，則可設(shè)OD=3x，OF=5x，所以AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中由于sin∠AFE= = ，可得到AE= x，接著表示出BE得到 x= ，解得x= ，于是可得到AE和OD的長．
【考點(diǎn)精析】掌握切線的判定定理是解答本題的根本，需要知道切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．