【題目】如圖所示,直線l:y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B.把AOB沿y軸翻折,點(diǎn)A落到點(diǎn)C,拋物線過點(diǎn)B、C和D(3,0).

(1)求直線BD和拋物線的解析式.

(2)若BD與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上,以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與MCD相似,求所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo).

(3)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使SPBD=6?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,說明理由.

【答案】(1)y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3;(2)點(diǎn)N坐標(biāo)為:(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3);(3)在拋物線上存在點(diǎn)P,使SPBD=6,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,3)或(﹣1,8).

【解析】

試題分析:(1)由待定系數(shù)法求出直線BD和拋物線的解析式;

(2)首先確定MCD為等腰直角三角形,因?yàn)?/span>BNDMCD相似,所以BND也是等腰直角三角形.如答圖1所示,符合條件的點(diǎn)N有3個(gè);

(3)如答圖2、答圖3所示,解題關(guān)鍵是求出PBD面積的表達(dá)式,然后根據(jù)SPBD=6的已知條件,列出一元二次方程求解.

解:(1)直線l:y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B,

A(﹣1,0),B(0,3);

AOB沿y軸翻折,點(diǎn)A落到點(diǎn)C,C(1,0).

設(shè)直線BD的解析式為:y=kx+b,

點(diǎn)B(0,3),D(3,0)在直線BD上,

,

解得k=﹣1,b=3,

直線BD的解析式為:y=﹣x+3.

設(shè)拋物線的解析式為:y=a(x﹣1)(x﹣3),

點(diǎn)B(0,3)在拋物線上,

3=a×(﹣1)×(﹣3),

解得:a=1,

拋物線的解析式為:y=(x﹣1)(x﹣3)=x2﹣4x+3.

(2)拋物線的解析式為:y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣1).

直線BD:y=﹣x+3與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M,令x=2,得y=1,

M(2,1).

設(shè)對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)F,則CF=FD=MF=1,

∴△MCD為等腰直角三角形.

以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與MCD相似,

∴△BND為等腰直角三角形.

如答圖1所示:

(I)若BD為斜邊,則易知此時(shí)直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)O,

N1(0,0);

(II)若BD為直角邊,B為直角頂點(diǎn),則點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上,

OB=OD=ON2=3,

N2(﹣3,0);

(III)若BD為直角邊,D為直角頂點(diǎn),則點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上,

OB=OD=ON3=3,

N3(0,﹣3).

滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為:(0,0),(﹣3,0)或(0,﹣3).

(3)假設(shè)存在點(diǎn)P,使SPBD=6,設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(m,n).

(I)當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD上方時(shí),如答圖2所示:

過點(diǎn)P作PEx軸于點(diǎn)E,則PE=n,DE=m﹣3.

SPBD=S梯形PEOB﹣SBOD﹣SPDE=(3+n)m﹣×3×3﹣(m﹣3)n=6,

化簡得:m+n=7 ①,

P(m,n)在拋物線上,

n=m2﹣4m+3,

代入①式整理得:m2﹣3m﹣4=0,

解得:m1=4,m2=﹣1,

n1=3,n2=8,

P1(4,3),P2(﹣1,8);

(II)當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD下方時(shí),如答圖3所示:

過點(diǎn)P作PEy軸于點(diǎn)E,則PE=m,OE=﹣n,BE=3﹣n.

SPBD=S梯形PEOD+SBOD﹣SPBE=(3+m)(﹣n)+×3×3﹣(3﹣n)m=6,

化簡得:m+n=﹣1 ②,

P(m,n)在拋物線上,

n=m2﹣4m+3,

代入②式整理得:m2﹣3m+4=0,=﹣7<0,此方程無解.

故此時(shí)點(diǎn)P不存在.

綜上所述,在拋物線上存在點(diǎn)P,使SPBD=6,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,3)或(﹣1,8).

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