Question

如圖，在⊙O中，點P為直徑BA延長線上一點，直線PD切⊙O于點D，過點B作BE⊥PD，垂足為E，BE交⊙O于點C，連接BD．
（1）求證：BD平分∠ABE．
（2）如果AB=13，BC=5，求BD的長．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）求出OD∥BE，推出∠EBD=∠ODB=∠OBD即可；
（2）過O作OG⊥BC于G，的BG=CG=2.5，在Rt△OBG中，根據(jù)勾股定理求出OG=6，根據(jù)矩形的性質(zhì)得出OD=GE=

13

2

=6.5，DE=OG=6，BE=9，在Rt△DEB中根據(jù)勾股定理求出BD即可．

解答：（1）證明：連接OD，
∵PD切⊙O于D，
∴OD⊥PE，
∵BE⊥PE，
∴∠E=∠ODP=90°，
∴OD∥BE，
∴∠ODB=∠EBD，
∵OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD，
∴∠EBD=∠OBD，
即BD平分∠ABE；

（2）解：過O作OG⊥BC于G，
則BG=CG=2.5，
在Rt△OBG中，OG=

OB2-BG2

=

( 13 2 )2-2．52

=6，
∵∠ODE=∠DEG=∠EGO=90°，
∴四邊形ODEG是矩形，
∴OD=GE=

13

2

=6.5，DE=OG=6，BE=9，
∴在Rt△DEB中，BD=

DE2+BE2

=

62+92

=3

13

．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運用定理進(jìn)行推理和計算的能力．