Question

在正方形ABCD外側(cè)作直線AP，點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點(diǎn)F．

（1）依題意補(bǔ)全圖1；
（2）若∠PAB=20°，求∠ADF的度數(shù)；
（3）如圖2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示線段AB，F(xiàn)E，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）根據(jù)題意直接畫出圖形得出即可；
（2）利用對(duì)稱的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊進(jìn)而得出答案；
（3）由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：EF=BF，AE=AB=AD，∠ABF=∠AEF=∠ADF，進(jìn)而利用勾股定理得出答案．

解答：解：（1）如圖1所示：

（2）如圖2，連接AE，
則∠PAB=∠PAE=20°，AE=AB=AD，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，
∴∠EAP=∠BAP=20°，
∴∠EAD=130°，
∴∠ADF=

180°-130°

2

=25°；

（3）如圖3，連接AE、BF、BD，
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：EF=BF，AE=AB=AD，
∠ABF=∠AEF=∠ADF，
∴∠BFD=∠BAD=90°，
∴BF²+FD²=BD²，
∴EF²+FD²=2AB²．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及勾股定理和等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等是解題關(guān)鍵．