【題目】(1)操作發(fā)現(xiàn):如圖①,小明畫了一個(gè)等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外側(cè)分別以AB,AC為腰作了兩個(gè)等腰直角三角形ABD,ACE,分別取BD,CE,BC的中點(diǎn)M,N,G,連接GM,GN.小明發(fā)現(xiàn)了:線段GM與GN的數(shù)量關(guān)系是__________;位置關(guān)系是__________.
(2)類比思考:
如圖②,小明在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了深入思考.把等腰三角形ABC換為一般的銳角三角形,其中AB>AC,其它條件不變,小明發(fā)現(xiàn)的上述結(jié)論還成立嗎?請(qǐng)說明理由.
(3)深入研究:
如圖③,小明在(2)的基礎(chǔ)上,又作了進(jìn)一步的探究.向△ABC的內(nèi)側(cè)分別作等腰直角三角形ABD,ACE,其它條件不變,試判斷△GMN的形狀,并給與證明.
【答案】(1)MG=NG; MG⊥NG;(2)成立,MG=NG,MG⊥NG;(3)答案見解析
【解析】(1)利用SAS判斷出△ACD≌△AEB,得出CD=BE,∠ADC=∠ABE,進(jìn)而判斷出∠BDC+∠DBH=90°,即:∠BHD=90°,最后用三角形中位線定理即可得出結(jié)論;
(2)同(1)的方法即可得出結(jié)論;
(3)同(1)的方法得出MG=NG,最后利用三角形中位線定理和等量代換即可得出結(jié)論.
(1)連接BE,CD相交于H,如圖1,
∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形,
∴AB=AD,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠BAE,
∴△ACD≌△AEB(SAS),
∴CD=BE,∠ADC=∠ABE,
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°,
∴∠BHD=90°,
∴CD⊥BE,
∵點(diǎn)M,G分別是BD,BC的中點(diǎn),
∴MG∥CD且MG=CD,
同理:NG∥BE且NG=BE,
∴MG=NG,MG⊥NG,
(2)連接CD,BE,相交于H,如圖2,
同(1)的方法得,MG=NG,MG⊥NG;
(3)連接EB,DC并延長(zhǎng)相交于點(diǎn)H,如圖3.
同(1)的方法得,MG=NG,
同(1)的方法得,△ABE≌△ADC,
∴∠AEB=∠ACD,
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°,
∴∠DHE=90°,
同(1)的方法得,MG⊥NG.
∴△GMN是等腰直角三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí),合理利用水資源,某城市規(guī)定用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:每戶每月用水量不超過6米3時(shí),水費(fèi)按a元/米3收費(fèi);每戶每月用水量超過6米3時(shí),不超過的部分每立方米仍按a元收費(fèi),超過的部分按c元/米3收費(fèi),該市某用戶今年3、4月份的用水量和水費(fèi)如下表所示:
月份 | 用水量(m3) | 收費(fèi)(元) |
3 | 5 | 7.5 |
4 | 9 | 27 |
(1)求a、c的值,并寫出每月用水量不超過6米3和超過6米3時(shí),水費(fèi)與用水量之間的關(guān)系式;
(2)已知某戶5月份的用水量為8米3,求該用戶5月份的水費(fèi).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,等腰Rt△ABC(∠ACB=90°)的直角邊與正方形DEFG的邊長(zhǎng)均為2,且AC與DE在同一直線上,開始時(shí)點(diǎn)C與點(diǎn)D重合,讓△ABC沿這條直線向右平移,直到點(diǎn)A與點(diǎn)E重合為止.設(shè)CD的長(zhǎng)為x,△ABC與正方形DEFG重合部分(圖中陰影部分)的面積為y,則y與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是( 。
A. B.
C. D.
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【題目】某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)某種品牌的玩具,購(gòu)進(jìn)時(shí)的單價(jià)是30元,根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查:在一段時(shí)間內(nèi),銷售單價(jià)是40元時(shí),銷售量是600件,而銷售單價(jià)每漲1元,就會(huì)少售出10件玩具.
(1)不妨設(shè)該種品牌玩具的銷售單價(jià)為x元(x>40),請(qǐng)你分別用x的代數(shù)式來表示銷售量y件和銷售該品牌玩具獲得利潤(rùn)w元,并把結(jié)果填寫在表格中:
(2)在(1)條件下,若商場(chǎng)獲得了10000元銷售利潤(rùn),求該玩具銷售單價(jià)x應(yīng)定為多少元.
(3)在(1)條件下,若玩具廠規(guī)定該品牌玩具銷售單價(jià)不低于44元,且商場(chǎng)要完成不少于540件的銷售任務(wù),求商場(chǎng)銷售該品牌玩具獲得的最大利潤(rùn)是多少?
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【題目】如圖,AD是△ABC的角平分線,點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn),AE=AC,EF∥BC,交AC于點(diǎn)F.下列結(jié)論正確的是( 。
①∠ADE=∠ADC;②△CDE是等腰三角形;③CE平分∠DEF;④AD垂直平分CE;⑤AD=CE.
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是由7塊顏色不同的正方形組成的長(zhǎng)方形,已知中間小正方形的邊長(zhǎng)為1,這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為( )
A.45B.48C.63D.64
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖①所示是一個(gè)長(zhǎng)為2m,寬為2n的長(zhǎng)方形,沿圖中虛線用剪刀均分成四個(gè)小長(zhǎng)方形,然后按圖②的方式拼成一個(gè)正方形.
(1)按要求填空:
①你認(rèn)為圖②中的陰影部分的正方形的邊長(zhǎng)等于 ;
②請(qǐng)用兩種不同的方法表示圖②中陰影部分的面積:
方法1:
方法2:
③觀察圖②,請(qǐng)寫出代數(shù)式(m+n)2,(m﹣n)2,mn這三個(gè)代數(shù)式之間的等量關(guān)系: ;
(2)根據(jù)(1)題中的等量關(guān)系,解決如下問題:若|m+n﹣6|+|mn﹣4|=0,求(m﹣n)2的值.
(3)實(shí)際上有許多代數(shù)恒等式可以用圖形的面積來表示,如圖③,它表示了 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知點(diǎn)A、D、C、F在同一直線上,AB=DE,AD=CF,添加下列條件后,仍不能判斷△ABC≌△DEF的是( 。
A. B.
C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,已知AB=8,BC=6,矩形在直線上繞其右下角的頂點(diǎn)B向右旋轉(zhuǎn)90°
至圖①位置,再繞右下角的頂點(diǎn)繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90°至圖②位置……以此類推,這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2018
次后,頂點(diǎn)A在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路線之和是_________
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