Question

探索題：
（x-1）（x+1）=x²-1
（x-1）（x²+x+1）=x³-1
（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1
…
（1）當(dāng)x=3時，（3-1）（3³+3²+3+1）=3⁴-1=______
（2）試求：2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值．
（3）判斷2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1的值的個位數(shù)是幾？（要有適當(dāng)?shù)慕忸}過程）

Answer 1

解：（1）當(dāng)x=3時，（3-1）（3³+3²+3+1）=3⁴-1=81-1=80；

（2）2⁵+2⁴+2³+2²+2+1，
=1×（2⁵+2⁴+2³+2²+2+1），
=（2-1）（2⁵+2⁴+2³+2²+2+1），
=2⁶-1，
=63；

（3）由（1）可得，2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1=2²⁰¹¹-1，
分析可得：2的1次方個位是2，2的2次方個位是4，2的3次方個位是8，2的4次方個位是6，
2的5次方個位是2，2的6次方個位是4，2的7次方個位是8，2的8次方個位是6，
…，四個一組，依次循環(huán)，故可得2²⁰¹¹的個位數(shù)字是8，
則2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1即2²⁰¹¹-1的值的個位數(shù)是7．
分析：（1）根據(jù)已知直接求出即可；
（2）根據(jù)題目中的方法，可將1恒等變形為（2-1），套入方法可得答案．
（3）由（1）易得，2²⁰¹⁰+2²⁰⁰⁹+2²⁰⁰⁸+…+2²+2+1=2²⁰¹¹-1，依次分析2的次方的個位數(shù)字可得規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律可得2²⁰¹¹的個位數(shù)字是2，進(jìn)而可得答案
點(diǎn)評：此題考查了尾數(shù)特征，根據(jù)已知發(fā)現(xiàn)規(guī)律并運(yùn)用規(guī)律是解題關(guān)鍵，有一定難度，但認(rèn)真觀察，細(xì)心分析也可以求解．