Question

已知：如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在CD上，AE是∠BAF的角平分線．
（1）若AB=3，BC=4，求AE的長；
（2）求證：AF=AB+FC．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),矩形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)勾股定理即可求得AE的長．
（2）作EG⊥AF于G，根據(jù)交平分線的性質(zhì)求得EB=EG，然后根據(jù)HL證得RT△ABE≌RT△AGE和RT△EFC≌RT△EFG得出AB=AG，F(xiàn)G=FC，從而證得結(jié)論．

解答：解：（1）∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，AB=3，BC=4，
∴BE=EC=2，
∴AE=

AB2+BE2

=

32+22

=

13

．
（2）作EG⊥AF于G，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴EB⊥AB，
∵AE是∠BAF的角平分線．
∴EB=EG，
在RT△ABE和RT△AGE中，

EB=EG AE=AE

，
∴RT△ABE≌RT△AGE（HL），
∴AB=AG，
∵BE=CE，EB=EG，
∴EG=EC，
在RT△EFC和RT△EFG中，

EG=EC EF=EF

，
∴RT△EFC≌RT△EFG（HL），
∴FG=FC，
∴AG+GF=AB+FC，
即AF=AB+FC．

點(diǎn)評：本題考查了矩形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及其判定，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．