Question

某校數(shù)學(xué)興趣小組由m位同學(xué)組成，學(xué)校專門安排n位老師作為指導(dǎo)教師．在該小組的一次活動(dòng)中，每兩位同學(xué)之間相互為對方提出一個(gè)問題，每位同學(xué)又向每位指導(dǎo)教師各提出一個(gè)問題，并且每位指導(dǎo)教師也向全組提出一個(gè)問題，以上所有問題互不相同，這樣共提出了51個(gè)問題．試求m，n的值．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用

專題：

分析：首先得出m（m-1）+mn+n=51，進(jìn)而分析得出△=（n-3）²+196，利用題意可得△必為完全平方數(shù)，則得出n-3+k與n-3-k可能的值，求出即可．

解答：解：由題意得m（m-1）+mn+n=51，
化簡得：m²+（n-1）m+n-51=0，
故△=（n-1）²-4（n-51）=n²-6n+205=（n-3）²+196，
∵m∈N^*，
∴△必為完全平方數(shù)，
設(shè)（n-3）²+196=k²（k為自然數(shù)），則（n-3+k）（n-3-k）=-196，
其中n-3+k與n-3-k具有相同的奇偶性，且n-3+k≥n-3-k，
∴

n-3+k=2 n-3-k=-98

（1）或

n-3+k=98 n-3-k=-2

（2）或

n-3+k=14 n-3-k=14

（3），
由（1）得：n=-45（舍），
由（2）得：n=51，此時(shí)原方程為m²+50m=0，解得m₁=-50，m₂=0（舍），
由（3）得n=3，此時(shí)原方程為m²+2m-48=0，解得m₁=6，m₂=-8（舍），
∴m=6，n=3．

點(diǎn)評：此題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用以及其解法，得出n-3+k與n-3-k可能的值是解題關(guān)鍵．