Question

如圖，已知拋物線y=-x²-3x+m經(jīng)過點C（-2，6），與x軸相交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點D．
（1）求點A的坐標；
（2）設(shè)直線BC交y軸于點E，連接AE、AC，求證：△AEC是等腰直角三角形；
（3）連接AD交BC于點F，試問當-4＜x＜1時，在拋物線上是否存在一點P使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABF相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將點C（-2，6）代入解析式求出m的值，令y=0，求出A的坐標；
（2）根據(jù)兩點間的距離公式求出AE、CE的長度，再根據(jù)股定理的逆定理判斷出△AEC是等腰直角三角形；
（3）求出AD、BC的解析式組成方程組，解出F的坐標，根據(jù)三角形相似求出P點的坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²-3x+m經(jīng)過點C（-2，6），
∴-（-3）²-3×（-3）+m=6，
∴m=4，
∴y=-x²-3x+4，
∴當y=0時，-x²-3x+4=0，
∴x₁=-4，x₂=1，
∴點A的坐標為（-4，0）．
（2）證明：設(shè)直線BC的函數(shù)解析式為y=kx+b，
由題意得，

k+b=0 -2k+b=6

，
解得，

k=-2 b=2

；
∴直線BC的解析式為y=-2x+2，
∴點E的坐標為（0，2），
∴AE=

AO2+OE2

=

42+22

=2

5

，CE=

(-2-0)2+(6-2)2

=2

5

；
∴AE=CE，
又∵AC²=（-2+4）²+（6-0）²=40，
AE²+CE²=（2

5

）²+（2

5

）²=40，
∴AC²=AE²+CE²，
∴△AEC為等腰直角三角形．

（3）設(shè)BC解析式為y=kx+b，
將（1，0），（-2，6）代入解析式得

k+b=0 -2k+b=6

，
解得，

k=-2 b=2

，解析式為y=-2x+2；
設(shè)AD解析式為y=mx+n，
將A（-4，0），D（0，4）代入解析式得

-4m+n=0 n=4

，
解得，

m=1 n=4

，解析式為y=x+4；
將y=-2x+2和y=x+4組成方程組得

y=-2x+2 y=x+4

，
解得

x=- 2 3 y= 10 3

，
則BF=

(- 2 3 -1)2+( 10 3 -0)2

=

5 5

3

，AF=

[- 2 3 -(-4)]2+( 10 3 -0)2

=

10 2

3

；
又∵AB=5，BC=

(-2-1)2+(6-0)2

=3

5

；
∴

BF

AB

=

5

3

，

AB

BC

=

5

3

，
∴

BF

AB

=

AB

BC

，
∵∠ABF=∠CBA，
∴△ABF∽△CBA，
∴當點P與點C重合時，以A、B、P為頂點的三角形與△ABF相似．
又∵拋物線關(guān)于直線x=-

3

2

對稱，
當點P與點C的對稱點重合時，以A、B、P為頂點的三角形也與△ABF相似．
∴當點P的坐標為（-1，6）或（-2，6）時，以A、B、P為頂點的三角形也與△ABF相似．

點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、一次函數(shù)解析式、兩點間的距離公式、相似三角形等知識點，綜合性強，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．