【題目】(1)如圖1,在△ABC中,BA=BC,DEAC邊上的兩點,且滿足∠DBE=ABC(0°<∠CBEABC).以點B為旋轉(zhuǎn)中心,將△BEC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC,得到△BE′A(點C與點A重合,點E到點E′處),連接DE′.求證:DE′=DE;

2)如圖2,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°D,EAC邊上的兩點,

且滿足∠DBE=ABC(0°<∠CBE45°) .求證:DE2=AD2+EC2

【答案】1)證明見解析;(2)證明見解析

【解析】

1)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)易得BE′=BE,∠E’BA=EBC,由已知∠DBE=ABC經(jīng)等量代換可得∠E′BD=DBE,從而可由SAS得△E’BD≌△EBD,得到DE′=DE;

2)由(1)的啟示,作如(1)的輔助圖形,即可得到直角三角形DE′A,根據(jù)勾股定理即可證得結(jié)論.

解:(1)∵△BE′A是△BEC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC得到,

BE′=BE,∠E′BA=EBC

∵∠DBE=ABC,∴∠ABD+∠EBC =ABC

∴∠ABD+∠E′BA =ABC,即∠E′BD=ABC.∴∠E′BD=DBE

在△E′BD和△EBD中,∵BE′=BE,∠E’BD=DBE,BD=BD

∴△E′BD≌△EBDSAS).

DE′=DE

2)以點B為旋轉(zhuǎn)中心,將△BEC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)∠ABC=90°,得到△BE′A(點C與點A重合,點E到點E′處),連接DE′

由(1)知DE′=DE

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),知E′A=EC,∠E′ AB=ECB

又∵BA=BC,∠ABC=90°,∴∠BAC=ACB=45°

∴∠E′AD=E′AB+∠BAC=90°

RtDE′A中,DE′2=AD2+E′A2,

DE2=AD2+EC2

練習冊系列答案
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