【題目】如圖,拋物線y=﹣ x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(0,2)兩點,將△OAB繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△O′A′B′,點A落到點A′的位置.

(1)求拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)將拋物線沿y軸平移后經(jīng)過點A′,求平移后所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;
(3)設(shè)(2)中平移后所得拋物線與y軸的交點為C,若點P在平移后的拋物線上,且滿足△OCP的面積是△O′A′P面積的2倍,求點P的坐標(biāo);
(4)設(shè)(2)中平移后所得拋物線與y軸的交點為C,與x軸的交點為D,點M在x軸上,點N在平移后所得拋物線上,直接寫出以點C,D,M,N為頂點的四邊形是以CD為邊的平行四邊形時點N的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:如圖1,把A(﹣1,0),B(0,2)兩點坐標(biāo)代入y=﹣ x2+bx+c得:

,

解得: ,

∴拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式:y=﹣ x2+ x+2


(2)

解:如圖2,∵A(﹣1,0),B(0,2),

∴OA=1,OB=2,

由旋轉(zhuǎn)得:O′B=OB=2,O′A′=OA=1,且旋轉(zhuǎn)角∠OBO′=90°,

∴O′(2,2),A′(2,1),

所以由原拋物線從O′平移到A′可知,拋物線向下平移1個單位,

∴平移后所得拋物線對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式:y=﹣ x2+ x+1


(3)

解:設(shè)P(a,﹣ a2+ a+1),

y=﹣ x2+ x+1,

當(dāng)x=0時,y=1,

∴OC=A′O′=1,

根據(jù)點A(2,2)可分三種情況:

①當(dāng)a>2時,如圖3,

∵SOCP=2SOAP,

×1×a=2× ×1×(a﹣2),

a=4,

則y=﹣ a2+ a+1=﹣ ×42+ ×4+1=﹣ ,

∴P(4,﹣ ),

②當(dāng)0<a<2時,如圖4,

∵SOCP=2SOAP,

×1×a=2× ×1×(2﹣a),

a= ,

則y=﹣ a2+ a+1=﹣ × 2+ × +1= ,

∴P( , ),

③當(dāng)a<0時,如圖5,

同理得: ×1×(﹣a)=2× ×(﹣a+2),

a=4(不符合題意,舍),

綜上所述,點P的坐標(biāo)為(4,﹣ )或( ,


(4)

解:設(shè)N(m,﹣ m2+ m+1),

如圖6,過N作NE⊥x軸于E,

∵四邊形CMND是平行四邊形,

∴CD∥MN,CD=MN,

∴∠CDO=∠MEN,

∵∠COD=∠MEN=90°,

∴△COD≌△NEM,

∴EN=CO,

m2 m﹣1=1,

解得:m=3或﹣1,

當(dāng)m=3時,y=﹣1,

當(dāng)m=﹣1時,y=﹣1,

∴N(3,﹣1)或(﹣1,﹣1),

如圖7就是點N(﹣1,﹣1)時,所成的平行四邊形;

如圖8和如圖9,

∵四邊形CDMN是平行四邊形,

∴CN∥DM,

∴點C與點N是對稱點,

∵C(0,1),對稱軸是x=﹣ =1,

∴N(2,1),

綜上所述,點N的坐標(biāo)為(3,﹣1)或(﹣1,﹣1)或(2,1).


【解析】(1)如圖1,利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式;(2)如圖2,根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出點O′(2,2),A′(2,1),知道原拋物線從向下平移1個單位得到新拋物線,根據(jù)原拋物線的關(guān)系式可以寫出新拋物線的函數(shù)關(guān)系式;(3)設(shè)P(a,﹣ a2+ a+1),根據(jù)點P的位置和A′的橫坐標(biāo)2可以分為三種情況:①當(dāng)a>2時,如圖3,②當(dāng)0<a<2時,如圖4,③當(dāng)a<0時,如圖5,分別根據(jù)SOCP=2SOAP , 列等式求出a的值,并求出對應(yīng)P的坐標(biāo);(4)如圖6,因為點N在平移后所得拋物線上,所以設(shè)N(m,﹣ m2+ m+1),作輔助線,構(gòu)建全等三角形,發(fā)現(xiàn)點N的縱坐標(biāo)的絕對值為1,由此列式為: m2 m﹣1=1,解出m的值,求出點N的坐標(biāo).同理如圖7得出點N的坐標(biāo).
如圖8和9,點C與點N是對稱點,根據(jù)點C的坐標(biāo)求點N的坐標(biāo).
【考點精析】認(rèn)真審題,首先需要了解二次函數(shù)的圖象(二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點:1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點),還要掌握二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性:當(dāng)a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.

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B.②③
C.②④
D.①③④

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操作發(fā)現(xiàn):
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(2)創(chuàng)新小組將圖(1)中的△ACD以點A為旋轉(zhuǎn)中心,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α,使α=2∠BAC,得到如圖(3)所示的△AC′D,連接DB、C′C,得到四邊形BCC′D,發(fā)現(xiàn)它是矩形,請證明這個結(jié)論.

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