【題目】已知:如圖,在Rt△ABC和Rt△ABD中,∠ACB=90°,∠ABD=90°,AB=BD,BC=4,(點A、D分別在直線BC的上下兩側),點G是Rt△ABD的重心,射線BG交邊AD于點E,射線BC交邊AD于點F.
(1)求證:∠CAF=∠CBE;
(2)當點F在邊BC上,AC=1時,求BF的長;
(3)若△BGC是以BG為腰的等腰三角形,試求AC的長.
【答案】(1)見解析;(2)BF=;(3)AC=2或2.
【解析】
(1)根據重心的定義可得BE是Rt△ABD的中線,然后根據三線合一可得∠AEB=90°,再根據三角形外角的性質即可證出結論;
(2)過點D作DH⊥BC于H,利用AAS證出△ABC≌△BDH,從而可得AC=BH=1,HD=BC=4,然后根據相似三角形的判定證出△AFC∽△DFH,列出比例式即可求出結論;
(3)根據等腰三角形腰的情況分類討論,分別畫出對應的圖形,根據重心的定義、垂直平分線的判定、全等三角形的判定及性質和勾股定理即可分別求出結論.
(1)∵點G是Rt△ABD的重心,
∴BE是Rt△ABD的中線,
又∵在Rt△ABC中,∠ABD=90°,AB=BD,
∴BE⊥AD,即∠AEB=90°,
∵∠AFB=∠ACF+∠FAC=∠FBE+∠BEF,且∠ACF=∠BEF=90°,
∴∠CAF=∠CBE;
(2)過點D作DH⊥BC于H,
∵∠ABD=90°,
∴∠ABC+∠DBC=90°,且∠ABC+∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠DBC,且AB=BD,∠ACB=∠BHD,
∴△ABC≌△BDH(AAS)
∴AC=BH=1,HD=BC=4,
∴HC=3,
∵∠ACB=∠DHC=90°,∠AFC=∠DFH,
∴△AFC∽△DFH,
∴=
∴CF=HF,
∴HF==,
∴BF=BH+HF=1+=;
(3)當GC=GB時,如圖,連接DG并延長交BC于H,交AB于N,連接NC,
∵點G是Rt△ABD的重心,
∴AN=BN,
∵∠ACB=90°,
∴BN=NC=AN,
∴點N在BC的垂直平分線上,
∵BG=GC,
∴點G在BC的垂直平分線上,
∴DN垂直平分BC,
∴BH=HC=2,DH⊥BC,
∵∠ABD=90°,
∴∠ABC+∠DBC=90°,且∠ABC+∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠DBC,且AB=BD,∠ACB=∠BHD,
∴△ABC≌△BDH(AAS)
∴AC=BH=2;
若BG=BC=4,如圖,
∵點G是Rt△ABD的重心,
∴BG=2GE,
∴GE=2,
∴BE=6,
∵∠ABD=90°,AB=BD,BE⊥AD
∴BE=AE=6,
∴AB=AE=6,
∴AC===2,
綜上所述:AC=2或2.
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【題目】圖1是一個地鐵站入口的雙翼閘機.如圖2,它的雙翼展開時,雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm,雙翼的邊緣AC=BD=54cm,且與閘機側立面夾角∠PCA=∠BDQ=30°.當雙翼收起時,可以通過閘機的物體的最大寬度為( )
A. (54+10) cm B. (54+10) cm C. 64 cm D. 54cm
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【題目】某商場為方便消費者購物,準備將原來的階梯式自動扶梯改造成斜坡式自動扶梯.如圖所示,已知原階梯式自動扶梯AB長為10m,坡角∠ABD為30°;改造后的斜坡式自動扶梯的坡角∠ACB為15°,請你計算改造后的斜坡式自動扶梯AC的長度,(結果精確到0.lm.溫馨提示:sin15°≈0.26,cosl5°≈0.97,tan15°≈0.27)
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【題目】某校七年級隨機抽查了若干同學,請他們分別記錄自己家中一周內丟棄的塑料袋的數(shù)量(單位:個),將收集到的數(shù)據繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請你根據圖中所給信息解答下列各題:
(1)這次調查的人數(shù)是多少?
(2)將條形統(tǒng)計圖補充完整.
(3)該校七年級共有650人,估計這周全體七年級學生家中丟棄的塑料袋的數(shù)量.
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【題目】五一期間,甲、乙兩人在附近的景點游玩,甲從兩個景點中任意選擇一個游玩,乙從三個景點中任意選擇一個游玩.
(1)乙恰好游玩景點的概率為 .
(2)用列表或畫樹狀圖的方法列出甲、乙恰好游玩同一景點的所有等可能的結果.并求甲、乙恰好游玩同一景點的概率.
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【題目】我國為了實現(xiàn)2020年全面脫貧目標,實施“精準扶貧”戰(zhàn)略,采取異地搬遷,產業(yè)扶持等措施.貧困戶的生活條件得到改善,生活質量明顯提高.恩施州為了全面了解貧困戶對扶貧工作的滿意度情況,進行隨機抽樣調查,分為四個類別:A.非常滿意;B.滿意;C.基本滿意;D.不滿意.依據調查數(shù)據繪制成圖1和圖2的統(tǒng)計圖(不完整).
根據以上信息,解答下列問題:
(1)將圖1補充完整;
(2)通過分析,估計全州2000貧困戶對扶貧工作基本滿意及以上的大約多少戶?
(3)恩施州扶貧辦從利川市甲鄉(xiāng)鎮(zhèn)3戶、乙鄉(xiāng)鎮(zhèn)2戶共5戶貧困戶中,隨機抽取兩戶進行滿意度回訪,求這兩戶貧困戶恰好都是同一鄉(xiāng)鎮(zhèn)的概率.
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【題目】如圖1,ABCD的對角線AC,BD相交于點O,且AE∥BD,BE∥AC,OE=CD.
(1)求證:四邊形ABCD是菱形;
(2)如圖2,若∠ADC=60°,AD=4,求AE的長.
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【題目】在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖象如圖所示,與軸的交點分別,且函數(shù)與軸交點在的下方,現(xiàn)給以下結論:①;②;③當時,的取值范圍是;④.則下列說法正確的是( )
A.①②B.①③C.①④D.③④
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