Question

如圖1，△ABC和△DBC都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．

（1）以圖1中的某個(gè)點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)△DBC，就能使△DBC與△ABC重合，則滿足題意的點(diǎn)為：

 

（寫出符合條件的所有點(diǎn)）；
（2）將△DBC沿BC方向平移得到△D₁B₁C₁，如圖2、圖3，則四邊形ABD₁C₁是平行四邊形嗎？證明你的結(jié)論；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)BB₁=

 

時(shí)，四邊形ABD₁C₁為矩形．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),平行四邊形的判定,矩形的判定

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到四邊形ABCD是菱形，從而再根據(jù)菱形是中心對(duì)稱圖形，得到旋轉(zhuǎn)中心有B點(diǎn)、C點(diǎn)、BC的中點(diǎn)；
（2）根據(jù)平移的性質(zhì)，得到BB₁=CC₁，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到AC=B₁D₁，∠BB₁D₁=∠ACC₁，從而得到△BB₁D₁≌△ACC₁，則AB=C₁D₁，再根據(jù)兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可證明；
（3）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AD=BD=DD₁，∠ADB=60°，進(jìn)而得出∠BAD=90°，再利用矩形的判定得出即可．

解答：解：（1）∵等邊△ABC和等邊△DBC有公共的底邊BC，
∴AB=BC=CD=AD，
∴四邊形ABCD是菱形．
∴要旋轉(zhuǎn)△DBC，使△DBC與△ABC重合，有三點(diǎn)分別為：B點(diǎn)、C點(diǎn)、BC的中點(diǎn)，
故答案為：B點(diǎn)、C點(diǎn)、BC的中點(diǎn)；

（2）四邊形ABD₁C₁是平行四邊形．理由如下：
根據(jù)平移的性質(zhì)，得到BB₁=CC₁，
根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，得到AC=B₁D₁，∠BB₁D₁=∠ACC₁，
∴△BB₁D₁≌△ACC₁，
∴AC₁=BD₁，
又AB=C₁D₁，
∴四邊形ABD₁C₁是平行四邊形；

（3）當(dāng)移動(dòng)距離BB₁=2時(shí)，四邊形ABC₁D₁是矩形．
理由：連接BC₁，AD₁，
∵△ABD，△BDC都是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
∴AD=BD=DD₁，∠ADB=60°，
∴∠DAD₁=∠DD₁A=30°，
∴∠BAD=60°+30°=90°，
∵由（2）可得出四邊形ABC₁D₁是平行四邊形，
∴平行四邊形ABC₁D₁是矩形．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的判定和等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)的定理是解題關(guān)鍵．