Question

如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F分別在OD、OC上，且DE=CF，連接DF、AE，AE的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)M．
（1）求證：①AE=DF；②AM⊥DF；
（2）若M為DF中點(diǎn)，連接EF，直接寫出

EF

DC

=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）①根據(jù)DE=CF，可得出OE=OF，繼而證明△AOE≌△DOF，得出AE=DF，②由△AOE≌△DOF得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代換可得出∠DME=90°，得出了結(jié)論．
（2）連結(jié)EF，利用△EMD≌△EMF，求出線段之間的關(guān)系求解．

解答：（1）證明：①∵四邊形ABCD是正方形，
∴CO=DO，
又∵DE=CF，
∴OD-DE=OC-CF，即OF=OE，
在△AOE和△DOF中，

AO=DO ∠AOD=DOF OE=OF

，
∴△AOE≌△DOF（SAS），
∴AE=DF，
②由①中△AOE≌△DOF，
∴∠OAE=∠ODF，
∵∠OAE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，
∴∠ODF+∠DEM=90°，
即可得AM⊥DF；
（2）如圖連接EF
由AM⊥DF，M為DF中點(diǎn)，
∴

MD=MF ∠EMD=∠EMF EM=EM

∴△EMD≌△EMF（SAS），
∴EF=ED，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠DOB=90°，∠OCD=45°，
∴DC=

2

OD=

2

（OE+ED），
∵OE=

2

2

EF，
∴DC=

2

（

2

2

EF+EF），
∴DC=EF（1+

2

），
∴

EF

DC

=

2

-1，
故答案為：

2

-1．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是通過(guò)全等的證明和利用等角代換解題．