Question

Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，將Rt△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得Rt△A′B′C′，求AB′的長(zhǎng)度．

Answer 1

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：分①旋轉(zhuǎn)后A′C在△ABC外部，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得B′C′=BC，∠BCB′=60°，求出∠ACB′=30°，過點(diǎn)A作AD⊥B′C于D，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AD，再利用勾股定理列式求出CD，然后求出B′D，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解；②旋轉(zhuǎn)后A′C在△ABC內(nèi)部，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得B′C′=BC，∠BCB′=60°，求出∠ACB′=150°，過點(diǎn)B′作B′E⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于E，求出∠B′CE=30°，根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出B′E，再利用勾股定理列式求出CE，然后求出AE，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解．

解答：解：①旋轉(zhuǎn)后A′C在△ABC外部時(shí)，如圖1，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，B′C′=BC，∠BCB′=60°，
所以，∠ACB′=90°-60°=30°，
過點(diǎn)A作AD⊥B′C于D，則AD=

1

2

AC=

1

2

×2=1，
由勾股定理得，CD=

AC2-AD2

=

22-12

=

3

，
所以，B′D=2-

3

，
在Rt△AB′D中，AB′=

12+(2- 3 )2

=

8-4 3

=

( 6 - 2 )2

=

6

-

2

；
②旋轉(zhuǎn)后A′C在△ABC內(nèi)部時(shí)，如圖2，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得B′C′=BC，∠BCB′=60°，
所以，∠ACB′=90°+60°=150°，
過點(diǎn)B′作B′E⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于E，
則∠B′CE=180°-150°=30°，
所以，B′E=

1

2

B′C′=

1

2

×2=1，
由勾股定理得，CE=

22-12

=

3

，
所以，AE=2+

3

，
在Rt△AB′E中，由勾股定理得AB′=

12+(2+ 3 )2

=

8+4 3

=

( 6 + 2 )2

=

6

+

2

，
綜上所述，AB′的長(zhǎng)度為

6

-

2

或

6

+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，熟記性質(zhì)并作輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關(guān)鍵，作出圖形更形象直觀．