Question

【題目】在“學(xué)本課堂”的實(shí)踐中，王老師經(jīng)常讓學(xué)生以“問題”為中心進(jìn)行自主、合作、探究學(xué)習(xí).

（課堂提問）王老師在課堂中提出這樣的問題：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，那么BC和AB有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

（互動(dòng)生成）經(jīng)小組合作交流后，各小組派代表發(fā)言.

（1）小華代表第3小組發(fā)言：AB=2BC. 請你補(bǔ)全小華的證明過程.

證明：把△ABC沿著AC翻折，得到△ADC.

∴∠ACD=∠ACB=90°，

∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，

即：點(diǎn)B、C、D共線.

（請?jiān)谙旅嫜a(bǔ)全小華的證明過程）

（2）受到第3小組“翻折”的啟發(fā)，小明代表第2小組發(fā)言：如圖2，在△ABC中，如果把條件“∠ACB=90°”改為“∠ACB=135°”，保持“∠BAC=30°”不變，若BC=1，求AB的長.

（能力遷移）我們發(fā)現(xiàn)，翻折可以探索圖形性質(zhì)，請利用翻折解決下面問題.

如圖3，點(diǎn)D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AD=AC，∠BAD=∠CAD=20°，∠ADB+∠ACB=210°，則AD、DB、BC三者之間的數(shù)量關(guān)系是 .

（課后拓展）如圖4，在四邊形ABCD中，∠BCD=45°，∠BAD=90°，∠ADB=∠CDB=60°，且AC=1，

則△ABD的周長為 .

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）；能力遷移：；課后拓展：.

【解析】

（1）根據(jù)提示證明出△ABD為等邊三角形即可說明BC和AB的關(guān)系；

（2）過點(diǎn)B作AC邊的垂線，交AC的延長線于點(diǎn)D，設(shè)BD=x，則CD=BC=x，解出x即可；

能力遷移：把△ABD延AB邊翻折得到△AEB，連接ED，EC，先通過角度轉(zhuǎn)換得到∠EBC=90°，在證明BC=BD，EC=AD，即可求出AD、DB、BC三邊的關(guān)系；

課后拓展：作BD⊥CD于點(diǎn)E，作CF垂直AD的延長線于點(diǎn)F，設(shè)AD=x，BD=2AD=2x，然后表示出AF，CF邊建立方程解出x即可.

（1）證明：把△ABC沿著AC翻折，得到△ADC.

∴∠ACD=∠ACB=90°，

∴∠BCD=∠ACD+∠ACB=90°+90°=180°，

即：點(diǎn)B、C、D共線，

∴AB=AD，

∵∠BAC=30°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABD為等邊三角形，

∴AB=BD=2BC；

（2）過點(diǎn)B作AC邊的垂線，交AC的延長線于點(diǎn)D，

∵∠ACB=135°，

∴∠BCD=45°，

∵∠BDC=90°，BC=1，

設(shè)BD=x，則CD=BC=x，

∴，解得：，

∵∠BAC=30°，

∴AB=2BD=；

能力遷移：

把△ABD延AB邊翻折得到△AEB，連接ED，EC，

∵∠BAD=∠CAD=20°，

∴∠EAB=20°，

∴∠EAC=60°，

∵∠ACB+∠ADB=210°，∠AEB=∠ADB，

∴∠ACB=∠AEB=210°，

∴∠EBC=360°-210°-60°=90°，

∵AD=AC，AE=AD，

∴AE=AC，

∴△AEC為等邊三角形，

∴EC=AE=AD，

在Rt△EBC中，，

∵BC=BD，EC=AD，

∴；

課后拓展：

作BD⊥CD于點(diǎn)E，作CF垂直AD的延長線于點(diǎn)F，

∵∠BAD=90°，∠ADB=∠CDB=60°，

∴△BAD≌△BED，

∵∠BCD=45°，

∴BE=CE，

設(shè)AD=x，

∴BD=2AD=2x，

∴，

∴EC=EB=AB=，

∴DC=，

∴∠FDC=60°，∠ECD=30°，

∴DF=，

∴，

,

∵AC=1，

在Rt△AFC中，，

則，解得：，

AD=，

DB=，

則△ABD的周長為：.