【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,直線:與軸、軸分別交于點和點,拋物線經(jīng)過點,且與直線的另一個交點為.
(1)求的值和拋物線的解析式;
(2)點在拋物線上,且點的橫坐標(biāo)為().軸交直線于點,點在直線上,且四邊形為矩形(如圖2),若矩形的周長為,求與的函數(shù)關(guān)系式以及的最大值;
(3)是平面內(nèi)一點,將繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)后,得到,點、、的對應(yīng)點分別是點、、.若的兩個頂點恰好落在拋物線上,請直接寫出點的橫坐標(biāo).
【答案】(1),拋物線的解析式為;(2),有最大值;(3)點的橫坐標(biāo)為或.
【解析】
(1)把點B的坐標(biāo)代入直線解析式求出m的值,再把點C的坐標(biāo)代入直線求解即可得到n的值,然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解答;
(2)令y=0求出點A的坐標(biāo),從而得到OA、OB的長度,利用勾股定理列式求出AB的長,然后根據(jù)兩直線平行,內(nèi)錯角相等可得∠ABO=∠DEF,再解直角三角形用DE表示出EF、DF,根據(jù)矩形的周長公式表示出p,利用直線和拋物線的解析式表示DE的長,整理即可得到P與t的關(guān)系式,再利用二次函數(shù)的最值問題解答;
(3)根據(jù)逆時針旋轉(zhuǎn)角為90°可得A1O1∥y軸時,B1O1∥x軸,然后分①點O1、B1在拋物線上時,表示出兩點的橫坐標(biāo),再根據(jù)縱坐標(biāo)相同列出方程求解即可;②點A1、B1在拋物線上時,表示出點B1的橫坐標(biāo),再根據(jù)兩點的縱坐標(biāo)相差A1O1的長度列出方程求解即可.
(1)∵直線:經(jīng)過點,
∴,
∴直線的解析式為,
∵直線:經(jīng)過點,
∴,
∵拋物線經(jīng)過點和點,
∴,解得,
∴拋物線的解析式為;
(2)令,則,解得,
∴點的坐標(biāo)為,
∴,
在中,,
∴,
∵軸,
∴,
在矩形中,,
,
∴,
∵點的橫坐標(biāo)為(),
∴,,
∴,
∴,
∵,且,
∴當(dāng)時,有最大值;
(3)∵繞點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn),
∴軸時,軸,設(shè)點的橫坐標(biāo)為,
①如圖1,點、在拋物線上時,點的橫坐標(biāo)為,點的橫坐標(biāo)為,
∴,
解得,
②如圖2,點、在拋的線上時,點的橫坐標(biāo)為,點的縱坐標(biāo)比點的縱坐標(biāo)大,
∴,
解得,
綜上所述,點的橫坐標(biāo)為或.
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,F是⊙O上一點,∠BAF的平分線交⊙O于點E,交⊙O的切線BC于點C,過點E作ED⊥AF,交AF的延長線于點D.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若DE=3,CE=2,
①求值;
②若點G 為AE上一點,求OG+EG最小值.
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【題目】如圖(1),公路上有A、B、C三個車站,一輛汽車從A站以速度v1勻速駛向B站,到達(dá)B站后不停留,以速度v2勻速駛向C站,汽車行駛路程y(千米)與行駛時間x(小時)之間的函數(shù)圖象如圖(2)所示.
(1)當(dāng)汽車在A、B兩站之間勻速行駛時,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍;
(2)求出v2的值;
(3)若汽車在某一段路程內(nèi)剛好用50分鐘行駛了90千米,求這段路程開始時x的值.
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【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx過A(4,0),B(1,-3)兩點,點C、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱,過點B作直線BH⊥x軸,交x軸于點H.
(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)點P是拋物線上一動點,當(dāng)ΔABP的面積為3時,求出點P的坐標(biāo);
(3)若點M在直線BH上運動,點N在x軸上運動,點R是坐標(biāo)平面內(nèi)一點,當(dāng)以點C、M、N、R為頂點的四邊形為正方形時,請直接寫出此時點R的坐標(biāo).
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【題目】圖1是某小型汽車的側(cè)面示意圖,其中矩形ABCD表示該車的后備箱,在打開后備箱的過程中,箱蓋ADE可以繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn),當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時,箱蓋ADE落在AD′E′的位置(如圖2所示).已知AD=96厘米,DE=28厘米,EC=42厘米.
(1)求點D′到BC的距離;
(2)求E、E′兩點的距離.
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【題目】如圖,是的直徑,是弦,點在圓外,于,交于點,連接,,,.
(1)求證:是的切線;
(2)求證:;
(3)設(shè)的面積為,的面積為,若,求的值.
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【題目】如圖,點A(-2,n),B(1,-2)是一次函數(shù)y=kx+b的圖象和反比例函數(shù)y=的圖象的兩個交點.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象寫出,當(dāng)kx+b<時,x的取值范圍;
(3)若C是x軸上一動點,設(shè)t=CB-CA,求t的最大值,并求出此時點C的坐標(biāo).
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線經(jīng)過點和點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)為拋物線上的一個動點,點關(guān)于原點的對稱點為.當(dāng)點落在該拋物線上時,求的值;
(3)是拋物線上一動點,連接,以為邊作圖示一側(cè)的正方形,隨著點的運動,正方形的大小與位置也隨之改變,當(dāng)頂點或恰好落在軸上時,求對應(yīng)的點坐標(biāo).
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【題目】如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點,延長CE,BA交于點F,連接AC,DF.
(1)求證:四邊形ACDF是平行四邊形;
(2)當(dāng)CF平分∠BCD時,寫出BC與CD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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