Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上，D點在y軸上，C點坐標為（2，0），BC=6，∠BCD=60°，點E是AB上一點，AE=3EB，⊙P過D，O，C三點，拋物線y=ax2+bx+c過點D，B，C三點．

（1）求拋物線的解析式；
（2）說明ED是⊙P的切線，若將△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，E點的對應點E′會落在拋物線上嗎？請說明理由；
（3）若點M為此拋物線的頂點，平面上是否存在點N，使得以點B，D，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵C點坐標為（2，0），BC=6，

∴B（﹣4，0），

在Rt△OCD中，∵tan∠OCD= ，

∴OD=2tan60°=2 ，

∴D（0，2 ），

設(shè)拋物線的解析式為y=（x+4）（x﹣2），

把D（0，2 ）代入得a4（﹣2）=2 ，

解得：a=﹣ ，

∴拋物線的解析式為y=﹣ （x+4）（x﹣2）=﹣ x2﹣ x+2

（2）

解：在Rt△OCD中，CD=2OC=4，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，

∵AE=3BE，

∴AE=3，

∴ ， = = ，

∴ ，

∵∠DAE=∠DCB，

∴△AED∽△DCB，

∴∠ADE=∠CDO，

∵∠ADE+∠ODE=90°，

∴∠CDO+∠ODE=90°，

∴CD⊥DE，

∵∠DOC=90°，

∴CD為⊙P的直徑，

∴ED是⊙P的切線；

E點的對應點E′不會落在拋物線上，

理由：∵△AED∽△COD，

∴ ，

即 = ，

解得：DE=3 ，

∵∠CDE=90°，DE＞DC，

∴將△ADE繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°，E點的對應點在射線DC上，而點D，C在拋物線上，

∴點E′不能在拋物線上

（3）

解：存在，∵y=﹣ x2﹣ x+2 =﹣ （x+1）2+ ，

∴M（﹣1， ），

∵B（﹣4，0），D（0，2 ），

如圖，當BM為平行四邊形BDMN的對角線時，

點D向左平移4個單位，再向下平移2 個單位得到B，

則點M（﹣1， ）向左平移4個單位，再向下平移2 個單位得到N1（﹣5， ）；

當DM為平行四邊形BDMN的對角線時，

點B向右平移3個單位，再向上平移 個單位得到D，

則點M（﹣1， ）向右平移4個單位，再向上平移2 個單位得到N2（3， ）；

當BD為平行四邊形BDMN的對角線時，

點M向右平移1個單位，再向下平移 個單位得到D，

則點B（﹣4，0）向右平移1個單位，再向下平移 個單位得到N3（﹣3，﹣ ）；

綜上所述，以點B，D，M，N為頂點的四邊形為平行四邊形時，點N的坐標為（﹣5， ）或（3， ）或（﹣3，﹣ ）．

【解析】（1）解直角三角形得到D（0，2 ），設(shè)拋物線的解析式為y=（x+4）（x﹣2），把D（0，2 ）即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AB=CD=4，AB∥CD，∠A=∠BCD=60°，AD=BC=6，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠ADE=∠CDO，于是得到CD為⊙P的直徑，根據(jù)切線的判定定理得到ED是⊙P的切線；E點的對應點E′不會落在拋物線上，根據(jù)相似三角形的想知道的DE=3 ，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的想知道的E點的對應點在射線DC上，而點D，C在拋物線上，于是得到點E′不能在拋物線上；（3）根據(jù)二次函數(shù)的解析式得到M（﹣1， ），由B（﹣4，0），D（0，2 ），當BM為平行四邊形BDMN的對角線時，當DM為平行四邊形BDMN的對角線時，當BD為平行四邊形BDMN的對角線時，根據(jù)平移的性質(zhì)即可得到結(jié)論．
【考點精析】掌握平行四邊形的性質(zhì)和解直角三角形是解答本題的根本，需要知道平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)．