【題目】如圖,在平面直角坐標系中,O為原點,平行四邊形ABCD的邊BC在x軸上,D點在y軸上,C點坐標為(2,0),BC=6,∠BCD=60°,點E是AB上一點,AE=3EB,⊙P過D,O,C三點,拋物線y=ax2+bx+c過點D,B,C三點.

(1)求拋物線的解析式;
(2)說明ED是⊙P的切線,若將△ADE繞點D逆時針旋轉90°,E點的對應點E′會落在拋物線上嗎?請說明理由;
(3)若點M為此拋物線的頂點,平面上是否存在點N,使得以點B,D,M,N為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請直接寫出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵C點坐標為(2,0),BC=6,

∴B(﹣4,0),

在Rt△OCD中,∵tan∠OCD= ,

∴OD=2tan60°=2 ,

∴D(0,2 ),

設拋物線的解析式為y=(x+4)(x﹣2),

把D(0,2 )代入得a4(﹣2)=2 ,

解得:a=﹣ ,

∴拋物線的解析式為y=﹣ (x+4)(x﹣2)=﹣ x2 x+2


(2)

解:在Rt△OCD中,CD=2OC=4,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,

∴AB=CD=4,AB∥CD,∠A=∠BCD=60°,AD=BC=6,

∵AE=3BE,

∴AE=3,

, = =

,

∵∠DAE=∠DCB,

∴△AED∽△DCB,

∴∠ADE=∠CDO,

∵∠ADE+∠ODE=90°,

∴∠CDO+∠ODE=90°,

∴CD⊥DE,

∵∠DOC=90°,

∴CD為⊙P的直徑,

∴ED是⊙P的切線;

E點的對應點E′不會落在拋物線上,

理由:∵△AED∽△COD,

,

= ,

解得:DE=3

∵∠CDE=90°,DE>DC,

∴將△ADE繞點D逆時針旋轉90°,E點的對應點在射線DC上,而點D,C在拋物線上,

∴點E′不能在拋物線上


(3)

解:存在,∵y=﹣ x2 x+2 =﹣ (x+1)2+

∴M(﹣1, ),

∵B(﹣4,0),D(0,2 ),

如圖,當BM為平行四邊形BDMN的對角線時,

點D向左平移4個單位,再向下平移2 個單位得到B,

則點M(﹣1, )向左平移4個單位,再向下平移2 個單位得到N1(﹣5, );

當DM為平行四邊形BDMN的對角線時,

點B向右平移3個單位,再向上平移 個單位得到D,

則點M(﹣1, )向右平移4個單位,再向上平移2 個單位得到N2(3, );

當BD為平行四邊形BDMN的對角線時,

點M向右平移1個單位,再向下平移 個單位得到D,

則點B(﹣4,0)向右平移1個單位,再向下平移 個單位得到N3(﹣3,﹣ );

綜上所述,以點B,D,M,N為頂點的四邊形為平行四邊形時,點N的坐標為(﹣5, )或(3, )或(﹣3,﹣ ).


【解析】(1)解直角三角形得到D(0,2 ),設拋物線的解析式為y=(x+4)(x﹣2),把D(0,2 )即可得到結論;(2)根據(jù)平行四邊形的性質得到AB=CD=4,AB∥CD,∠A=∠BCD=60°,AD=BC=6,根據(jù)相似三角形的性質得到∠ADE=∠CDO,于是得到CD為⊙P的直徑,根據(jù)切線的判定定理得到ED是⊙P的切線;E點的對應點E′不會落在拋物線上,根據(jù)相似三角形的想知道的DE=3 ,根據(jù)旋轉的想知道的E點的對應點在射線DC上,而點D,C在拋物線上,于是得到點E′不能在拋物線上;(3)根據(jù)二次函數(shù)的解析式得到M(﹣1, ),由B(﹣4,0),D(0,2 ),當BM為平行四邊形BDMN的對角線時,當DM為平行四邊形BDMN的對角線時,當BD為平行四邊形BDMN的對角線時,根據(jù)平移的性質即可得到結論.
【考點精析】掌握平行四邊形的性質和解直角三角形是解答本題的根本,需要知道平行四邊形的對邊相等且平行;平行四邊形的對角相等,鄰角互補;平行四邊形的對角線互相平分;解直角三角形的依據(jù):①邊的關系a2+b2=c2;②角的關系:A+B=90°;③邊角關系:三角函數(shù)的定義.(注意:盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)

練習冊系列答案
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調查問卷

你最喜歡的球類運動是( )(單選)

A、籃球B、足球C、排球D、乒乓球E、羽毛球F、其他

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你最喜歡的球類運動是( )(單選)

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(1)求1號電池和5號電池每節(jié)分別重多少克;

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1號廢電池數(shù)量/節(jié)

29

30

32

28

31

5號廢電池數(shù)量/節(jié)

51

53

47

49

50

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