Question

【題目】如圖1所示,一次函數(shù)y=kx+b的圖象與反比例函數(shù)y= 的圖象交A(1,4)，B(-4,c)兩點(diǎn),

(1)求反比例函數(shù)及一次函數(shù)的解析式;

(2)點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn),使|PA-PB|的值最大,求點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的面積;

(3)如圖2所示,點(diǎn)M、N都在直線AB上,過M、N分別作y軸的平行線交雙曲線于E、F,設(shè)M、N的橫坐標(biāo)分別為m、n,且, ,請(qǐng)?zhí)骄?/span>,當(dāng)m、n滿足什么關(guān)系時(shí)，ME=NE.

Answer 1

【答案】（1）反比例函數(shù)的解析式為y=，一次函數(shù)的解析式為y=x+3；（2）P點(diǎn)坐標(biāo)為(-,0)，S△PAB=；（3）當(dāng)mn=-4時(shí),ME=NE.

【解析】試題分析：

（1）把點(diǎn)A（1，4）、B(-4，c)的坐標(biāo)分別代入反比例函數(shù)的解析式，即可求得反比例函數(shù)的解析式和c的值，從而可得點(diǎn)B的坐標(biāo)，再把A、B的坐標(biāo)代入一次函數(shù)的解析式求得k、b的值即可得到一次函數(shù)的解析式；

（2）作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′交x軸于點(diǎn)P，此時(shí)所得點(diǎn)P為所求點(diǎn)，先由A和B′的坐標(biāo)求出直線AB′的解析式，再求點(diǎn)P的坐標(biāo)，再求出直線AB與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可求得△PAB的面積了；

（3）由題意可得用“m”和“n”的式子分別表達(dá)出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，進(jìn)而可表達(dá)出ME和NF的長(zhǎng)度，結(jié)合ME=NF可得關(guān)于“m、n”的等式，把等式變形即可得到所求結(jié)論.

試題解析：

(1)把A(1,4)代入y= ,得4= , ∴a=4.

∴反比例函數(shù)的解析式為y=

把B(-4,c)代入,得c= =-1.∴B(-4,-1).

把A(1,4)、B(-4,-1)代入y=kx+b得

∴

∴一次函數(shù)的解析式為y=x+3.

(2)如圖所示,作B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B,則B'(-4,1),連接AB并延長(zhǎng)交x軸于P,則此時(shí)|PA-PB|的值最大.設(shè)直線AB'的解析式為y=k1x+b1,則有

∴

∴直線AB′的解析式為y=x+ ,當(dāng)y=0

時(shí),x=-

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為(-,0)

∵直線AB與x軸的交點(diǎn)為(-3,0),

S△PAB=；

(3)由題可知，M(m,m+3)，N(n,n+3)，E ，

∵.-4<m<0，n>1，

∴ME=m+3 ，NF=n+3，

當(dāng)ME=NF時(shí)，m+3- =n+3- ，即

∴,m≠n，

∴mn=-4.

∴當(dāng)mn=-4時(shí)，ME=NE.