Question

【題目】如圖，直線y=﹣x+c與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和拋物線的解析式；

（2）M（m，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N．

①點(diǎn)M在線段OA上運(yùn)動(dòng)，若以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

②點(diǎn)M在x軸上自由運(yùn)動(dòng)，若三個(gè)點(diǎn)M，P，N中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)（三點(diǎn)重合除外），則稱(chēng)M，P，N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”．請(qǐng)直接寫(xiě)出使得M，P，N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”的m的值．

Answer 1

【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+x+2；(2)①點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2.5，0）或（，0）；②m的值為或﹣1或﹣．

【解析】試題分析：（1）把A點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式可求得c，則可求得B點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線解析式；

（2）①由M點(diǎn)坐標(biāo)可表示P、N的坐標(biāo)，從而可表示出MA、MP、PN、PB的長(zhǎng)，分∠NBP=90°和∠BNP=90°兩種情況，分別利用相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于m的方程，可求得m的值；

②用m可表示出M、P、N的坐標(biāo)，由題意可知有P為線段MN的中點(diǎn)、M為線段PN的中點(diǎn)或N為線段PM的中點(diǎn)，可分別得到關(guān)于m的方程，可求得m的值．

試題解析：解：

（1）∵與x軸交于點(diǎn)A（3，0），與y軸交于點(diǎn)B，∴0=﹣2+c，解得c=2，∴B（0，2），∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，∴，解得： ，∴拋物線解析式為；

（2）①由（1）可知直線解析式為，∵M（m，0）為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M且垂直于x軸的直線與直線AB及拋物線分別交于點(diǎn)P，N，∴P（m， ），N（m， ），∴PM=，PA=3﹣m，PN=﹣（）=，∵△BPN和△APM相似，且∠BPN=∠APM，∴∠BNP=∠AMP=90°或∠NBP=∠AMP=90°，分兩種情況：

當(dāng)∠BNP=90°時(shí)，則有BN⊥MN，∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為2，∴ =2，解得m=0（舍去）或m=，∴M（，0）；

當(dāng)∠NBP=90°時(shí)，則有，∵A（3，0），B（0，2），P（m， ），∴BP== ，AP= =（3﹣m），∴，解得m=0（舍去）或m=，∴M（，0）；

綜上可知當(dāng)以B，P，N為頂點(diǎn)的三角形與△APM相似時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，0）或（，0）；

②由①可知M（m，0），P（m， ），N（m， ），∵M，P，N三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”，∴有P為線段MN的中點(diǎn)、M為線段PN的中點(diǎn)或N為線段PM的中點(diǎn)，當(dāng)P為線段MN的中點(diǎn)時(shí)，則有2（）=，解得m=3（三點(diǎn)重合，舍去）或m=；

當(dāng)M為線段PN的中點(diǎn)時(shí)，則有+（）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；

當(dāng)N為線段PM的中點(diǎn)時(shí)，則有=2（），解得m=3（舍去）或m=；

綜上可知當(dāng)M，P，N三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”時(shí)m的值為或﹣1或．