Question

已知關(guān)于x的方程mx²+（3m+1）x+3=0（m≠0）．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，求正整數(shù)m的值；
（3）在（2）的條件下，將關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx²+（3m+1）x+3的圖象在x軸下方的部分沿x軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象．請(qǐng)結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+b與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用方程mx²+（3m+1）x+3=0（m≠0）的△判定即可；
（2）由求根公式，得x₁=-3，x₂=-

1

m

，再由方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，且m為正整數(shù)，可得m的值；
（3）正確畫出圖形，分兩種情況求解即可．

解答：（1）證明：∵m≠0，
∴mx²+（3m+1）x+3=0是關(guān)于x的一元二次方程．
∴△=（3m+1）²-12m
=（3m-1）²．
∵（3m-1）²≥0，
∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）解：由求根公式，得x₁=-3，x₂=-

1

m

． 
∵方程的兩個(gè)根都是整數(shù)，且m為正整數(shù)，
∴m=1．
（3）解：∵m=1時(shí)，
∴y=x²+4x+3．
∴拋物線y=x²+4x+3與x軸的交點(diǎn)為A（-3，0）、B（-1，0）．
依題意翻折后的圖象如圖所示，

當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)，可得b=3．
當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)，可得b=1．
∴1＜b＜3． 
當(dāng)直線y=x+b與y=-x²-4x-3
的圖象有唯一公共點(diǎn)時(shí)，
可得x+b=-x²-4x-3，
∴x²+5x+3+b=0，
∴△=5²-4（3+b）=0，
∴b=

13

4

．
∴b＞

13

4

．
綜上所述，b的取值范圍是1＜b＜3，b＞

13

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)的綜合題，解題的關(guān)鍵是觀察、分析、正確的畫出二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問題．