Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且CP=1，BP=

2

，AP=2，以CP為直角邊，點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，作等腰Rt△DCP，下列結(jié)論：①點(diǎn)A與D的距離為

2

；②AP⊥PC；③AB=2

2

；④S_△APB=1，其中正確的結(jié)論是（　　）

• A、①②③
• B、①③④
• C、②③④
• D、①②④

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：如圖，作輔助線；證明△ACD≌△BCP，得到AD=PB=

2

，故①正確；證明A、D、C、B四點(diǎn)共圓，得到∠ADB═90°，進(jìn)而證明∠APD=45°，結(jié)合∠DPC=45°，得到②正確；運(yùn)用三角形的面積公式可以判斷③不正確、④正確，即可解決問題．

解答：解：如圖，連接AD；
∵∠DCP=∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠BCP；在△ACD與△BCP中，

DC=PC ∠ACD=∠BCP AC=BC

，
∴△ACD≌△BCP（SAS），
∴AD=PB=

2

，故①正確；
∵△ACD≌△BCP，
∴∠DAC=∠CBD，
∴A、D、C、B四點(diǎn)共圓，
∴∠ADB=∠ACB=90°；
∵∠DCP=90°，且DC=PC=1，
∴DP²=1²+1²，DP=

2

；而AD=

2

，
∴△ADP為等腰直角三角形，
∴∠APD=45°，而∠DPC=45°，
∴∠APC=90°，即AP⊥CP，故②正確；
∵BD=BP+PD=2

2

，AD=

2

，
∴③不正確，S△ADB=

1

2

×2

2

×

2

=2，
∴S_△ABP=1，故④正確，
故答案為D

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了全等三角形的判定、勾股定理、三角形的面積公式等幾何知識(shí)點(diǎn)；作輔助線，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．