Question

等腰△ABC中（如圖1），AB=AC，腰上的高為h，P為底邊BC上任意一點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．
（1）求證：PE+PF=h；
（2）（如圖2）當(dāng)點P在線段BC的延長線上時，PE、PF、h之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出你的猜想，并證明．

Answer 1

考點：等腰三角形的性質(zhì),三角形的面積

專題：

分析：（1）在CG上截取CH=DE，連接DH，易證四邊形GEDH是矩形，從而可知∠GHD=90°，DH∥AB，那么就有∠DHC=∠CFD=90°，∠HDC=∠B，又AB=AC，利用等邊對等角，可得∠B=∠FCD，于是∠HDC=∠FCD，再結(jié)合CD=DC，利用AAS可證△DHC≌△CFD，那么CH=DF，從而易證DE+DF=CG．
（2）猜想：DE-DF=CG．過C作CM⊥ED，垂足為M，易證四邊形CGEM是矩形，利用AAS可證△DCM≌△DCF，那么DM=DF，易證DE-DF=CG．

解答：（1）證明：如圖1所示，在CG上截取GH=ED，并連接HD，
∵CG⊥AB，DE⊥AB，
∴DE∥CG，DH∥EG，∠HGE=90°，
∴四邊形DHGE是矩形，
∴∠DHG=90°，
∴∠DHC=90°，
在△DHC和△CFD中，
∠DHC=∠CFD=90°，
∵DH∥AB，AB=AC，
∴∠HDC=∠B=∠FCD，DC=CD，
∴△DHC≌△CFD，
∴HC=FD，
∴DE+DF=GH+HC=CG，
即DE+DF=CG．

（2）猜想：DE-DF=CG．
證明：如圖2所示，過C作CM⊥ED，垂足為M，
∵DF⊥AC，
∴∠CMD=∠CFD=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵∠ACB=∠FCD，
∴∠B=∠FCD，
∵DE⊥AB，CM⊥DE，
∴CM∥AB，
∴∠B=∠MCD，
∴∠MCD=∠FCD，
在△CMD和△CFD中，

∠CMD=∠CFD ∠MCD=∠FCD CD=CD

，
∴△CMD≌△CFD（AAS），
∴DM=DF，
∵四邊形GCME為長方形，
∴CG=EM，
∵EM+MD=DE，
∴CG+DF=DE，
即DE-DF=CG．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)；輔助線的作出是正確解答本題的關(guān)鍵．