【題目】問(wèn)題情境:如圖1,在正方形ABCD中,E為邊BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C重合),垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD于點(diǎn)M、P、N.判斷線段DN、MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
問(wèn)題探究:在“問(wèn)題情境”的基礎(chǔ)上,
(1)如圖2,若垂足P恰好為AE的中點(diǎn),連接BD,交MN于點(diǎn)Q,連接EQ,并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)F.求∠AEF的度數(shù);
(2)如圖3,當(dāng)垂足P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上時(shí),連接AN,將△APN沿著AN翻折,點(diǎn)P落在點(diǎn)P'處.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4 ,AD的中點(diǎn)為S,求P'S的最小值.
問(wèn)題拓展:如圖4,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中,點(diǎn)M、N分別為邊AB、CD上的點(diǎn),將正方形ABCD沿著MN翻折,使得BC的對(duì)應(yīng)邊B'C'恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,C'N交AD于點(diǎn)F.分別過(guò)點(diǎn)A、F作AG⊥MN,FH⊥MN,垂足分別為G、H.若AG=,請(qǐng)直接寫(xiě)出FH的長(zhǎng).
【答案】問(wèn)題情境:.理由見(jiàn)解析;問(wèn)題探究:(1);(2)的最小值為;問(wèn)題拓展:.
【解析】
問(wèn)題情境:過(guò)點(diǎn)B作BF∥MN分別交AE、CD于點(diǎn)G、F,證出四邊形MBFN為平行四邊形,得出NF=MB,證明△ABE≌△BCF得出BE=CF,即可得出結(jié)論;
問(wèn)題探究:(1)連接AQ,過(guò)點(diǎn)Q作HI∥AB,分別交AD、BC于點(diǎn)H、I,證出△DHQ是等腰直角三角形,HD=HQ,AH=QI,證明Rt△AHQ≌Rt△QIE得出∠AQH=∠QEI,得出△AQE是等腰直角三角形,得出∠EAQ=∠AEQ=45°,即可得出結(jié)論;
(2)連接AC交BD于點(diǎn)O,則△APN的直角頂點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí),則點(diǎn)P′與點(diǎn)D重合;設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí),則點(diǎn)P′的落點(diǎn)為O′,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出∠ODA=∠ADO′=45°,當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上運(yùn)動(dòng)時(shí),過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CD于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)P′作P′H⊥CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接PC,證明△APB≌△CPB得出∠BAP=∠BCP,證明Rt△PGN≌Rt△NHP'得出PG=NH,GN=P'H,由正方形的性質(zhì)得出∠PDG=45°,易得出PG=GD,得出GN=DH,DH=P'H,得出∠P'DH=45°,故∠P'DA=45°,點(diǎn)P'在線段DO'上運(yùn)動(dòng);過(guò)點(diǎn)S作SK⊥DO',垂足為K,即可得出結(jié)果;
問(wèn)題拓展:延長(zhǎng)AG交BC于E,交DC的延長(zhǎng)線于Q,延長(zhǎng)FH交CD于P,則EG=AG=,PH=FH,得出AE=5,由勾股定理得出BE==3,得出CE=BC﹣BE=1,證明△ABE∽△QCE,得出QE=AE=,AQ=AE+QE=,證明△AGM∽△ABE,得出AM=,由折疊的性質(zhì)得:AB'=EB=3,∠B'=∠B=90°,∠C'=∠BCD=90°,求出B'M=,AC'=1,證明△AFC'∽△MAB',得出AF=,證明△DFP∽△DAQ,得出FP=,得出FH=FP=.
問(wèn)題情境:因?yàn)樗倪呅?/span>是正方形,
所以.
過(guò)點(diǎn)作分別交于點(diǎn).
所以四邊形為平行四邊形.
所以.所以,
所以,
又因?yàn)?/span>,
所以.,所以.
因?yàn)?/span>,所以,所以.
問(wèn)題探究:
(1)連接,過(guò)點(diǎn)作,分別交于點(diǎn).易得四邊形矩形.
所以且.
因?yàn)?/span>是正方形的對(duì)角線,所以.
所以是等腰直角三角形,.所以.
因?yàn)?/span>是的垂直平分線,所以.
所以.所以.
所以.所以.
所以是等腰直角三角形,,即.
(2)如圖所示,連接交于點(diǎn),由題意易得的直角頂點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng).
設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合,則點(diǎn)與點(diǎn)重合;
設(shè)與點(diǎn)重合,則點(diǎn)的落點(diǎn)為.易知.
當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí),
過(guò)點(diǎn)作的垂線,垂足為,
過(guò)點(diǎn)作,垂足為點(diǎn).
易證:,
所以,
因?yàn)?/span>是正方形的對(duì)角線,
所以,易得,所以.
所以.
所以,故.
所以點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng).
過(guò)點(diǎn)作,垂足為,因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn),
所以,則的最小值為.
問(wèn)題拓展:
解:延長(zhǎng)AG交BC于E,交DC的延長(zhǎng)線于Q,延長(zhǎng)FH交CD于P,如圖4:
則EG=AG=,PH=FH,
∴AE=5,
在Rt△ABE中,BE==3,
∴CE=BC﹣BE=1,
∵∠B=∠ECQ=90°,∠AEB=∠QEC,
∴△ABE∽△QCE,
∴
∵AG⊥MN,
∴∠AGM=90°=∠B,
∵∠MAG=∠EAB,
∴△AGM∽△ABE,
∴,即,
解得:,
由折疊的性質(zhì)得:AB'=EB=3,∠B'=∠B=90°,∠C'=∠BCD=90°,
∴B'M=,
∵∠BAD=90°,
∴∠B'AM=∠C'FA,
∴△AFC'∽△MAB',
∴,
解得:
∵AG⊥MN,FH⊥MN,
∴AG∥FH,
∴AQ∥FP,
∴△DFP∽△DAQ,
∴,即,
解得:FP=,
∴FH=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分別為△ABC三邊的長(zhǎng).
(1)如果x=-1是方程的根,試判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由;
(2)如果方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,試判斷△ABC的形狀,并說(shuō)明理由.
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【題目】某商場(chǎng)銷(xiāo)售一批名牌襯衫,平均每天可銷(xiāo)售20件,每件盈利40元.為了擴(kuò)大銷(xiāo)售量,增加盈利,盡量減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每降價(jià)5元,商場(chǎng)平均每天可多售出10件.
(1)若每件襯衫降價(jià)4元,商場(chǎng)每天可盈利多少元?
(2)若商場(chǎng)平均每天要盈利1200元,每件襯衫應(yīng)降價(jià)多少元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,在正方形ABCD中,P是對(duì)角線BD上的一點(diǎn),點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上,且PA=PE,PE交CD于F.
(1)證明:PC=PE;
(2)求∠CPE的度數(shù);
(3)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)∠ABC=120°時(shí),連接CE,試探究線段AP與線段CE的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,O為AC中點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O的直線分別與AB,CD交于點(diǎn)E,F,連接BF交AC于點(diǎn)M,連接DE,BO.若∠COB=60°,FO=FC,則下列結(jié)論:①FB⊥OC,OM=CM; ②△EOB≌△CMB;③MB:OE=3:2;④四邊形EBFD是菱形.其中正確結(jié)論是( 。
A.①②③B.②③④C.①④D.①③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】點(diǎn)P是正方形ABCD邊AB上一點(diǎn)(不與A,B重合),連接PD并將線段PD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到線段PE,連接BE,則∠CBE等于 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 若一個(gè)四邊形的兩條對(duì)角線互相垂直且相等,則稱這個(gè)四邊形為奇妙四邊形.如圖1,四邊形ABCD中,若AC=BD,AC⊥BD,則稱四邊形ABCD為奇妙四邊形.根據(jù)奇妙四邊形對(duì)角線互相垂直的特征可得奇妙四邊形的一個(gè)重要性質(zhì):奇妙四邊形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半.根據(jù)以上信息回答:
(1)矩形 奇妙四邊形(填“是”或“不是”);
(2)如圖2,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是奇妙四邊形,若⊙O的半徑為6,∠ BCD=60°.求奇妙四邊形ABCD的面積;
(3)如圖3,已知⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD是奇妙四邊形作OM⊥BC于M.請(qǐng)猜測(cè)OM與AD的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠CAB=70°,在同一平面內(nèi),將△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置,使得CC′∥AB,則∠BAB′=________
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【題目】如圖,二次函數(shù)的圖象與x軸交于A(﹣3,0)和B(1,0)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C(0,3),點(diǎn)C、D是二次函數(shù)圖象上的一對(duì)對(duì)稱點(diǎn),一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)B、D.
(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo).
(2)求二次函數(shù)的解析式.
(3)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出使一次函數(shù)值大于二次函數(shù)值的x的取值范圍.
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