Question

如圖，點D在△ABC的邊CB的延長線上，以AB為直徑作⊙O交線段AC于點E，過點E作EF∥CD分別交⊙O、AB于點F、G，連接BE、BF，若∠CBE=∠DBF．
（1）求證：CD為⊙O的切線；
（2）已知AB=18，BE=6，求弦EF的長．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理

專題：

分析：（1）求出∠EFB=∠DBF，∠CBE=∠BAC，根據(jù)圓周角定理得出∠AEB=90°，求出∠ABE+∠BAC=90°，推出∠ABC=90°，根據(jù)切線的判定推出即可；
（2）根據(jù)垂徑定理求出EG=FG，設(shè)OG=x，則BG=9-x，由勾股定理得出方程9²-x²=6²-（9-x）²，求出x=7，即可求出答案．

解答：證明：（1）∵EF∥CD，
∴∠EFB=∠DBF，
∵弧BE=弧BE，
∴∠EFB=∠BAC，
∴∠DBF=∠BAC，
又∵∠CBE=∠DBF，
∴∠CBE=∠BAC，
∵AB是直徑，
∴∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠BAC=90°，
∴∠ABE+∠CBE=90°，
∴∠ABC=90°，
∴CD⊥AB，
∴CD為⊙O的切線；

（2）解：
∵CD⊥AB，EF∥CD，
∴EF⊥AB，
又∵AB是直徑，
∴EG=FG，
連接EO，設(shè)OG=x，則BG=9-x，
由勾股定理可知：OE²-OG²=BE²-BG²=EG²，
即9²-x²=6²-（9-x）²，
解得x=7，
∴EF=2EG=2

92-72

=8

2

．

點評：本題考查了圓周角定理，切線的判定，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，垂徑定理的應(yīng)用，題目比較典型，綜合性比較強．