Question

已知△ABC，AB=AC，∠BAC=30°，AD⊥BC于D，E在AC上，BE=BC，BC=2

3

，半徑為

2

的⊙P從B點(diǎn)沿BE向E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，
（1）當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AD與BE的交點(diǎn)時(shí)，求證：AB為⊙P的切線；
（2）在（1）的條件下，設(shè)⊙P與BC交于M、N兩點(diǎn)，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定

專題：證明題

分析：（1）作PF⊥AB于F，如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=15°，BD=CD=

1

2

BC=

3

，利用互余得∠C=75°，而BC=BE，所以∠BEC=∠C=75°，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠ABE=45°，則可判斷△FBP為等腰直角三角形，所以PF=

2

2

BP；再根據(jù)三角形外角性質(zhì)可計(jì)算出∠BPD=15°+45°=60°，在Rt△PDB中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得PD=

3

3

BD=1，PB=2PD=2，則PF=

2

，加上⊙P的半徑為

2

，于是根據(jù)切線的判定方得到AB為⊙P的切線；
（2）設(shè)MD=a，根據(jù)垂徑定理由PD⊥MN待定MD=ND=a，則BM=BD-MD=

3

-a，BN=MD+DN=

3

+a，再由△FBP為等腰直角三角形得BF=PF=

2

，然后根據(jù)切割線定理得到（

2

）²=（

3

-a）（

3

+a），解得a=1，再利用MN=MD+ND進(jìn)行計(jì)算．

解答：（1）證明：作PF⊥AB于F，如圖，
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC=

1

2

×30°=15°，BD=CD=

1

2

BC=

3

，
∴∠C=90°-∠CAD=75°，
而BC=BE，
∴∠BEC=∠C=75°，
∵∠BEC=∠BAE+∠ABE，
∴∠ABE=75°-30°=45°，
∴△FBP為等腰直角三角形，
∴PF=

2

2

BP；
∵∠BPD=∠BAP+∠ABP，
∴∠BPD=15°+45°=60°，
在Rt△PDB中，PD=

3

3

BD=1，
∴PB=2PD=2，
∴PF=

2

2

×2=

2

，
∵⊙P的半徑為

2

，
∴⊙P的半徑PF垂直AB，
∴AB為⊙P的切線；
（2）解：設(shè)MD=a，
∵PD⊥MN，
∴MD=ND=a，
∴BM=BD-MD=

3

-a，BN=MD+DN=

3

+a，
∵△FBP為等腰直角三角形，
∴BF=PF=

2

，
∵BF為⊙P的切線，
∴BF²=BM•BN，即（

2

）²=（

3

-a）（

3

+a），解得a=1，
∴MN=MD+ND=1+1=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了垂徑定理切割線定理和等腰三角形的性質(zhì)．