Question

某企業(yè)共投資10萬元生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，該企業(yè)信息部進行市場調(diào)研發(fā)現(xiàn)：
信息一：如果單獨投資A種產(chǎn)品，則所獲利潤y_A（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在正比例函數(shù)關(guān)系：y_A=kx，并且當投資5萬元時，可獲利潤2萬元．
信息二：如果單獨投資B種產(chǎn)品，則所獲利潤y_B（萬元）與投資金額x（萬元）之間存在二次函數(shù)關(guān)系：yB=ax2+bx，并且當投資2萬元時，可獲利潤2.4萬元；當投資4萬元時，可獲利潤3.2萬元．
（1）請分別求出上述的正比例函數(shù)表達式與二次函數(shù)表達式；
（2）請你設(shè)計一個能獲得最大利潤的投資方案，并求出按此方案能獲得的最大利潤；
（3）請你設(shè)計投資方案使該企業(yè)想要獲得的利潤不低于5萬元．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應用

專題：代數(shù)綜合題

分析：（1）利用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)解析式，求二次函數(shù)解析式解答即可；
（2）設(shè)投資B產(chǎn)品x萬元，則投資A產(chǎn)品（10-x）萬元，然后寫出利潤表達式，再根據(jù)二次函數(shù)的最值問題解答；
（3）令y=5，根據(jù)利潤函數(shù)關(guān)系式求出此時的x的值，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可．

解答：解：（1）∵y_A=kx，當投資5萬元時，可獲利潤2萬，
∴5k=2，
∴k=

2

5

，
所以，函數(shù)關(guān)系式為y_A=

2

5

x，
∵y_B=ax²+bx當投資2萬元時，可獲利潤2.4萬元；當投資4萬元時，可獲利潤3.2萬元，
∴

4a+2b=2.4 16a+4b=3.2

，
解得

a=- 1 5 b= 8 5

，
所以，y_B=-

1

5

x²+

8

5

x；

（2）設(shè)投資B產(chǎn)品x萬元，則投資A產(chǎn)品（10-x）萬元，
利用y=-

1

5

x²+

8

5

x+

2

5

（10-x）=-

1

5

x²+

6

5

x+4=-

1

5

（x²-6x+9）+

9

5

+4=-

1

5

（x-3）²+5.8，
即y=-

1

5

（x-3）²+5.8，
所以，當投資B產(chǎn)品3萬元時，能獲得的最大利潤，
此時投資A產(chǎn)品7萬元，B產(chǎn)品3萬元，獲得最大利潤是5.8萬元；

（3）y=5時，-

1

5

（x-3）²+5.8=5，
整理得（x-3）²=4，
所以x-3=2或x-3=-2，
所以，x₁=5，x₂=1，
∵a=-

1

5

＜0，
∴投資B產(chǎn)品1到5萬元時，獲得的利潤不低于5萬元．

點評：本題考查的是二次函數(shù)在實際生活中的應用，主要利用了待定系數(shù)法求正比例函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值問題，以及利用二次函數(shù)的性質(zhì)解不等式，綜合題但難度不大．