Question

2012年國家商務(wù)部發(fā)布了商務(wù)預(yù)報監(jiān)測，豬肉價格在1～3月下跌后，已跌至肉價的最低點；而重慶市菜價，卻在上演一輪5元一把的藤藤菜、12元/千克的蘑菇、30元/千克的黑豆的漲價潮，“菜價高于肉價”讓普通百姓表示吃不起素．進入3月，隨著本地蔬菜的大量上市，我市蔬菜價格普遍下降．以下是重慶某一超市3月份每周的蘑菇銷售價格變化如下表：

周數(shù)x	1	2	3	4
價格y（元/千克）	12	6	4	3

已知該超市3月份每周的蘑菇銷售量z₁（千克）與周數(shù)x（1≤x≤4，且x為整數(shù)）所滿足的函數(shù)關(guān)系式z1=-25x2+175x；進入4月份，該超市每周的蘑菇銷售價格穩(wěn)定在3元/千克，每周的銷售量z₂（千克）與周數(shù)x（1≤x≤4，且x為整數(shù)）所滿足的函數(shù)關(guān)系式為z2=ax2+bx+400，且函數(shù)圖象為下圖所示：
（1）請觀察題中的表格及函數(shù)圖象，用你所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知識，直接寫出3月份每周的銷售價格y（元/千克）與周數(shù)x（1≤x≤4，且x為整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系式？并直接寫出4月份每周的銷售量z₂（千克）與周數(shù)x（1≤x≤4，且x為整數(shù)）所滿足的函數(shù)關(guān)系式？
（2）求出3月和4月分別在哪一周銷售此種蘑菇的銷售額最大？且最大銷售額分別是多少？
（3）進入5月，重慶市由于受暴雨的影響，蔬菜運輸?shù)缆范氯�，蔬菜及時供應(yīng)困難，蘑菇的價格出現(xiàn)波動，5月的第1周蘑菇的銷售價格比4月份上漲a%，銷售量比4月的第4周增加0.5a%，5月份的第2周蘑菇的銷售價格與5月的第1周持平，但銷售量比第1周減少130千克，這樣，要使5月份第2周的銷售額達到4月份的最大銷售額，求a的最小正整數(shù)值？（參考數(shù)據(jù)：

31

≈5.568，  

33

≈5.745，  

35

≈5.916）

Answer 1

考點：二次函數(shù)的應(yīng)用

專題：

分析：（1）設(shè)3月份每周的銷售價格y（元/千克）與周數(shù)x（1≤x≤4，且x為整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

k

x

，根據(jù)函數(shù)圖象直接利用待定系數(shù)法就可以求出4月份每周的銷售量z₂（千克）與周數(shù)x（1≤x≤4，且x為整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）設(shè)銷售額為w，根據(jù)銷售額=銷售單價×銷售數(shù)量就可以分別把三月和四月各周的銷售額表示出來，根據(jù)二次函數(shù)的頂點式就可以求出結(jié)論；
（3）先求出4月第四周的銷售量為-5×16+50×4+400=520kg，就可以表示出5月第一周的銷量為520（1+0.5a%）kg，第二周的銷量為520（1+0.5a%）-130，再表示出5月第一周的價格3（1+a%）元，根據(jù)5月份第2周的銷售額達到4月份的最大銷售額為等量關(guān)系建立方程求出其解即可．

解答：解：（1）設(shè)設(shè)3月份每周的銷售價格y（元/千克）與周數(shù)x（1≤x≤4，且x為整數(shù)）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=

k

x

，由題意，得
6=

k

2

，
∴k=12．
∴y=

12

x

（1≤x≤4，且x為整數(shù)），
∵z2=ax2+bx+400經(jīng)過（1，455），（3，505）兩點，
∴

445=a+b+400 505=9a+3b+400

，
解得：

a=-5 b=50

，
∴z2=-5x2+50x+400；

（2）由題意，得
三月每周的銷售額為：
w_3月=

12

x

（-25x²+175x），
=-300x+2100，
∵k=-300＜0，
∴w隨x的增大而減小，
∴x=1時，w_3月最大=1800元，
四月每周的銷售額為：
w4月=3（-5x²+50x+400），
=-15（x-5）²+1575，
∵a=-15＜0，
∴拋物線的開口向下，函數(shù)有最大值，在對稱軸左側(cè)w隨x的增大而增大，
∵對稱軸為x=5，1≤x≤4，且x為整數(shù)，
∴x=4時，w_4月最大=1560元
∴三月的第一周銷售額最大為1800元，4月的第四周銷售額最大為1560元．

（3）由題意，得
4月第四周的銷售量為：-5×16+50×4+400=520kg，
5月第一周的銷量為：520（1+0.5a%）kg，
第二周的銷量為：520（1+0.5a%）-130，
5月第一周的價格為：3（1+a%）元，
[520（1+0.5a%）-130]×3（1+a%）=1560，
化簡為：2m²+5m-1=0，
m=

-5± 25-4×2(-1)

4

，
=

-5± 33

4

，
∵

33

≈5.745，
∴m₁=0.18625，m₂=-2.68625，
∴a%=0.18625或a%=-2.68625，
∴a=18.625或-268.625．
∵a為正整數(shù)，
∴a=19．
答：a的最小正整數(shù)值為19．

點評：本題考查了運用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和二次函數(shù)的解析式的運用，二次函數(shù)的頂點式的運用和一次函數(shù)的性質(zhì)的運用，列一元二次方程解實際問題的運用及一元二次方程的額解法的運用，解答第三問是難點，根據(jù)題意的數(shù)量關(guān)系建立方程是解答的關(guān)鍵．本題也是今年來中考的�？碱}型，屬于高難度題，計算量較大．