Question

如圖①，A（4，0），C（0，n）分別是x和y軸上的點，n＞0，以OA，OC為邊在第一象限內作矩形OABC，對角線OB，AC，交于點D雙曲線y=

k

x

（x＞0，k＞0）交邊BC于G，交邊AB于H．
（1）設直線AC的函數關系式為y=qx+p，請用含n的代數式表示q和p．
（2）求證：

BG

BC

=

BH

BA

；
（3）如圖②，若上述雙曲線經過點D，判斷點D是否是雙曲線與直線AC唯一的交點，請說明理由．

Answer 1

考點：反比例函數綜合題

專題：

分析：（1）設y=qx+p，將點A（4，0）和點C（0，n）代入即可用含n的代數式表示q和p；
（2）根據點G和點H均在y=

k

x

上，設H（4，

k

4

），G（

k

n

，n）從而得到BG=4-

k

n

=

4n-k

n

，BH=n-

k

4

=

4n-k

4

，利用

BG

BH

=

4

n

=

BC

AB

，即可證得

BG

BC

=

BH

BA

；
（3）設D點的坐標為：（2，

n

2

），然后得到y(tǒng)=

n

x

，聯立組成方程組即可得整理得到方程-x²+4x=4，根據方程有兩個相等的實數根判斷點D是雙曲線與直線AC唯一的交點．

解答：解：（1）設y=qx+p
由A（4，0）得0=4q+p，
由C（0，n）得n=p，
∴q=-

n

4

，p=n； 
（2）∵點G和點H均在y=

k

x

上，
∴設H（4，

k

4

），G（

k

n

，n）
所以BG=4-

k

n

=

4n-k

n

，BH=n-

k

4

=

4n-k

4

，
∴

BG

BH

=

4

n

=

BC

AB

，
即

BG

BC

=

BH

BA

；

（3）設D點的坐標為：（2，

n

2

），
當x=2，y=

n

2

時，

n

2

=

k

2

，k=n，
∴y=

n

x

，
由

y=- n 4 x+n y= n x

得-

n

4

x+n=

n

x

即-nx²+4nx=4n，
-x²+4x=4，
解得：x₁=x₂=2，
∴點D是雙曲線與直線AC唯一的交點．

點評：本題考查了反比例函數的綜合知識，解題的關鍵是用未知數將點的坐標表示出來，難度中等偏上．