Question

已知如圖1，∠ABC，∠ACB的平分線交于I，根據下列條件分別求出∠BIC的度數；你能發(fā)現∠BIC與∠A的關系嗎？并說明理由．

（1）變式一：如圖2，點P是△ABC的中外兩角∠DBC與∠ECB平分線的交點，試探索∠BPC與∠A的數量關系，并說明理由．
（2）變式二：如圖3，已知在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACE，BD、CD相交于D，試探索∠A與∠D的數量關系，并說明理由．

Answer 1

考點：三角形內角和定理,三角形的外角性質

專題：

分析：（1）先根據三角形內角和定理得到∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB，則2∠BIC=360°-2∠IBC-2∠ICB，再根據角平分線的定義得∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，則2∠BIC=360°-∠ABC-∠ACB，易得∠BIC=90°+

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∠A；
（2）根據三角形外角平分線的性質可得∠BCP=

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2

（∠A+∠ABC）、∠PBC=

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2

（∠A+∠ACB）；根據三角形內角和定理可得∠BPC=90°-

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∠A；
（3）根據BD為∠ABC的角平分線，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，可知，∠A=180°-∠AFB-∠ABF=，∠D=180°-∠DFC-∠FCD180°-∠DFC-

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（∠A+2∠ABF），兩式聯立可得2∠D=∠A．

解答：解：（1）∠BIC=90°+

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∠A；
理由如下：
在△BIC中，
∵∠BIC=180°-∠IBC-∠ICB，
∴2∠BIC=360°-2∠IBC-2∠ICB，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，
∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，
∴2∠BIC=360°-（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴2∠BIC=180°+∠A，
∴∠BIC=90°+

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2

∠A；

（2）∠BPC=90°-

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∠A．
理由如下：
∵BP、CP為△ABC兩外角∠ABC、∠ACB的平分線，∠A為x°
∴∠BCP=

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2

（∠A+∠ABC）、∠PBC=

1

2

（∠A+∠ACB），
由三角形內角和定理得，∠BPC=180°-∠BCP-∠PBC，
=180°-

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[∠A+（∠A+∠ABC+∠ACB）]，
=180°-

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2

（∠A+180°），
=90°-

1

2

∠A；

（3）∠D=

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2

∠A．
如圖，

理由如下：
∵BD為∠ABC的角平分線，CD為△ABC外角∠ACE的平分線，兩角平分線交于點D，
∴∠ABD=∠DBC，∠ACD=

1

2

（∠A+2∠ABD），∠AFB=∠DFC，
∵∠A=180°-∠AFB-∠ABF，
∴∠AFB+∠ABF=180°-∠A----①
又∵∠D=180°-∠DFC-∠FCD=180°-∠DFC-

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2

（∠A+2∠ABF），
即2∠D=360°-2∠DFC-∠A-2∠ABF=360°-2（∠DFC+∠ABF）-∠A----②，
把①代入②得2∠D=∠A，即∠D=

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2

∠A．

點評：本題考查的是三角形內角和定理，涉及到三角形內角與外角的關系，角平分線的性質，三角形內角和定理，結合圖形，靈活運用基本知識解決問題．