【題目】如圖,在直角坐標系中,拋物線經(jīng)過點A(0,4),B(1,0),C(50),其對稱軸與x軸相交于點M

(1)求拋物線的解析式;

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使△PAB的周長最。咳舸嬖,請求出點P的坐標;若不存在,請說明理由;

(3)連接AC,在直線AC的下方的拋物線上,是否存在一點N,使△NAC的面積最大?若存在,請求出點N的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】(1)y=x2x+4;(2)P(3,);(3)N(,﹣3)

【解析】

1)拋物線經(jīng)過點A04),B1,0),C5,0),可利用兩點式法設(shè)拋物線的解析式為yax1)(x5),代入A0,4)即可求得函數(shù)的解析式;

2)點A關(guān)于對稱軸的對稱點A′的坐標為(6,4),連接BA′交對稱軸于點P,連接AP,此時△PAB的周長最小,求出直線BA′的解析式,即可得出點P的坐標;

3)設(shè)N點的橫坐標為t,此時點Nt,t2t+4)(0t5),再求得直線AC的解析式,即可求得NG的長與△ACN的面積,由二次函數(shù)最大值的問題即可求得答案.

解:(1)根據(jù)已知條件可設(shè)拋物線的解析式為y=a(x1)(x5)

把點A(0,4)代入上式得:a=

y=(x1)(x5)=x2x+4;=(x3)2

(2)∵點A(0,4),拋物線的對稱軸是x=3,

∴點A關(guān)于對稱軸的對稱點A′的坐標為(6,4),

如圖1,連接BA′交對稱軸于點P,連接AP,此時△PAB的周長最。

設(shè)直線BA′的解析式為y=kx+b

A′(6,4),B(1,0)代入得,解得,

y=x

∵點P的橫坐標為3,

y=×3=

P(3,);

(3)設(shè)N點的橫坐標為t,此時點N(t,t2t+4)(0t5)

如圖2,過點NNGy軸交ACG,作ADNGD,

由點A(04)和點C(5,0)可求出直線AC的解析式為:y=x+4

x=t代入得:y=t+4,則G(t,﹣t+4),

此時:NG=t+4(t2t+4)=t2+4t,

AD+CF=CO=5,

SACN=SANG+SCGN=AM×NG+NG×CF=NGOC=×(t2+4t)×5=2t2+10t=2(t)2+,

∴當t=時,△CAN面積的最大值為

t=,得:y=t2t+4=3,

N(,﹣3)

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