Question

【題目】（白云區(qū)校級(jí)二模）如圖，在△ABC中，AB＝10，BC＝12，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D.過(guò)點(diǎn)D的⊙O的切線垂直AC于點(diǎn)F，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

（1）連接OD，則OD與AC的位置關(guān)系是　 　.

（2）求AC的長(zhǎng).

（3）求sinE的值.

Answer 1

【答案】（1）平行；（2）10；（3）

【解析】

（1）連接OD，由EF為圓O的切線，利用切線的性質(zhì)得到OD⊥EF，再由AF⊥EF，可得OD∥AC；

（2）根據(jù)O為AB的中點(diǎn)，且OD與AF平行，得到OD為三角形ABC的中位線，得到OD為AC的一半，由OD的長(zhǎng)求出AC的長(zhǎng)即可；

（3）由（2）得到D為BC中點(diǎn)，求出BD與DC長(zhǎng)，過(guò)B點(diǎn)作EF的垂線BH，垂足為H點(diǎn)，連接AD，可得BH，OD，AC三直線平行，由AB為圓O的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到∠ADB＝90°，再利用弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角，得到三角形DBH與三角形ABD相似，由相似得比例求出BH的長(zhǎng)，再由BH與OD平行得到三角形BHE與三角形ODE相似，由相似得比例求出BE的長(zhǎng)，在直角三角形BHE中，利用銳角三角函數(shù)定義求出sinE的值即可．

（1）連接OD，則OD與AC的位置關(guān)系是平行，

理由：∵EF與圓O相切，

∴OD⊥EF，

∵AF⊥EF，

∴OD∥AC；

故答案為：平行；

（2）∵O為AB中點(diǎn)，OD∥AC，且OD＝AO＝OB＝5，

∴OD為△BAC的中位線，

∴ODAC，

∴AC＝2OD＝10；

（3）由（2）知D為BC的中點(diǎn)，

∴BD＝CD＝6，

過(guò)B點(diǎn)作EF的垂線BH，垂足為H點(diǎn)，連接AD，

則有BH∥OD∥AC，

∵AB是直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵∠HDB＝∠DAB，∠ADB＝∠DHB＝90°，

∴△DBH∽△ABD，

∴，即，

解得：BH＝，

設(shè)BE＝x，

∵BH∥OD，

∴△EHB∽△EDO，

∴，即，

解得：x，即BE，

∴sinE．