Question

【題目】已知函數(shù)y=mx2+（2m+1）x+2（m為實數(shù)）．
（1）請?zhí)骄吭摵瘮?shù)圖象與x軸的公共點個數(shù)的情況（要求說明理由）；
（2）在圖中給出的平面直角坐標(biāo)系中分別畫出m=﹣1和m=1的函數(shù)圖象，并根據(jù)圖象直接寫出它們的交點坐標(biāo)；
（3）探究：對任意實數(shù)m，函數(shù)的圖象是否一定過（2）中的點，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)m=0時，y=x+2，此直線與x軸交于（﹣2，0）；

當(dāng)m≠0時，△=（2m+1）2﹣8m=（2m﹣1）2≥0，

∴此拋物線在m= 時，與x軸只有一個公共點；在m≠ 時，與x軸有2個交點

（2）解：當(dāng)m=﹣1時，拋物線解析式為y=﹣x2﹣x+2，

當(dāng)m=1時，拋物線解析式為y=x2+3x+2，

函數(shù)圖象如下：

由函數(shù)圖象知，兩拋物線的交點為（﹣2，0）和（0，2）

（3）解：對任意實數(shù)m，函數(shù)的圖象一定過（﹣2，0）和（0，2），理由如下：

在函數(shù)y=mx2+（2m+1）x+2中，

無論m為何值，當(dāng)x=0時，y的值均為2，即橫過點（0，2），

∵y=mx2+（2m+1）x+2=（x+2）（mx+1），

∴當(dāng)x=﹣2時，y的值均為0，即函數(shù)圖象橫過（﹣2，0），

故無論m為何值，函數(shù)的圖象（﹣2，0）和（0，2）兩點

【解析】（1）分m=0和m≠0兩種情況討論；（2）m=﹣1時y=﹣x2﹣x+2、m=1時y=x2+3x+2，畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得出交點；（3）在y=mx2+（2m+1）x+2=（x+2）（mx+1）中，可知無論m為何值，x=0時y=2、x=﹣2時y=0，即可得．
【考點精析】利用拋物線與坐標(biāo)軸的交點對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當(dāng)b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當(dāng)b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當(dāng)b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．