【題目】已知矩形ABCD,點P為BC邊上一動點,連接AP,將線段AP繞P點順時針旋轉(zhuǎn)90°,點A恰好落在直線CD上點E處.
(1)如圖1,點E在線段CD上,求證:AD+DE=2AB;

(2)如圖2,點E在線段CD的延長線上,且點D為線段CE的中點,在線段BD上取點F,連接AF、PF,若AF=AB.求證:∠APF=∠ADB.

(3)如圖3,點E在線段CD上,連接BD,若AB=2,BD∥PE,則DE= . (直接寫出結(jié)果)

【答案】
(1)

解:∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠ABC=∠BCD=90°,

∴∠BAP+∠APB=90°,

∵∠APE=90°,

∴∠APB+∠CPE=90°,

∴∠BAP=∠CPE,

在△ABP和△PCE中, ,

∴△ABP≌△PCE,

∴AB=PC=CD,BP=CE,

∴AD+DE=BC+DE=BP+PC+DE=CE+CP+DE=CP+CD=2AB


(2)

解:如圖,

∵AB=AF,

∴∠ABF=∠AFB,

∵AB∥DC,

∴∠ABF=∠BDC,

∴∠AFB=∠BDC,

∴∠AFD=∠EDF,

∵AB=CD=DE,AB∥CD,

∴四邊形ABDE是平行四邊形,

∴BD∥AE,

∵PA=PE,∠APE=90°,

∴∠PAE=∠PEA=45°,

∴∠PMN=∠PNM=45°,

∵BD∥AE,

∴∠FAE+∠AFD=180°,∠FDE+∠AED=180°,

∵∠AFD=∠EDF,

∴∠FAE=∠DEA,

∵∠PAE=∠PEA,

∴∠FAP=∠DEP,

在△APF和△EPD中, ,

∴△APF≌△EPD,

∴∠AFP=∠DEP,

∵∠AFD=∠EDF,

∴∠PFD=∠PDF,

在Rt△PCD中,PC=PD,

∴∠CDP=45°,

∴∠ADP=45°,

∴∠ADB=45°﹣∠PDF=45°﹣∠PFD,

∵∠AMB=∠PFD+∠APF=45°,

∴∠APF=45°﹣∠PFD,

∴∠APF=∠ADB


(3)3﹣
【解析】解:(3)由(1)知,△ABP≌△PCE,
∴PC=AB=2,由(1)知,AD+DE=2AB=4,
∴AD=4﹣DE,
∵DB∥PE,
∴△CPE∽△CBD,
,
∵CB=AD=4﹣DE,CD=AB=2,CE=CD﹣DE=2﹣DE,
,
∴DE=3+ (由于點E在線段CD上,且CD=2,所以舍去)或DE=3﹣
即:DE=3﹣ ,
所以答案是:3﹣
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解三角形的外角的相關知識,掌握三角形一邊與另一邊的延長線組成的角,叫三角形的外角;三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和;三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角,以及對相似三角形的判定的理解,了解相似三角形的判定方法:兩角對應相等,兩三角形相似(ASA);直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似; 兩邊對應成比例且夾角相等,兩三角形相似(SAS);三邊對應成比例,兩三角形相似(SSS).

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