【題目】請(qǐng)閱讀下列材料:
小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖1,在邊長(zhǎng)為a(a>2)的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1,當(dāng)∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°時(shí),求正方形MNPQ的面積.
小明發(fā)現(xiàn),分別延長(zhǎng)QE,MF,NG,PH交FA,GB,HC,ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,S,T,W,可得△RQF,△SMG,△TNH,△WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形(如圖2) .
請(qǐng)回答:
(1)若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形(無(wú)縫隙不重疊),則這個(gè)新正方形的邊為 ;
(2)求正方形MNPQ的面積.
(3)參考小明思考問(wèn)題的方法,解決問(wèn)題:
如圖3,在等邊△ABC各邊上分別截取AD=BE=CF,再分別過(guò)點(diǎn)D,E,F作BC,AC,AB的垂線,得到等邊△RPQ.若S△RPQ=,求AD的長(zhǎng).
【答案】(1)a
(2)∵△RQF,△SMG,△TNH,△WPE四個(gè)全等的等腰直角三角形面積和為,正方形ABCD的面積為,∴。
(3)
【解析】試題分析:(1)四個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為a,其拼成的正方形面積為a2,邊長(zhǎng)為a;
(2)如題圖2所示,正方形MNPQ的面積等于四個(gè)虛線小等腰直角三角形的面積之和,據(jù)此求出正方形MNPQ的面積;
(3)參照小明的解題思路,對(duì)問(wèn)題做同樣的等積變換.如答圖1所示,三個(gè)等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面積和等于等邊三角形△ABC的面積,故陰影三角形△PQR的面積等于三個(gè)虛線等腰三角形的面積之和.據(jù)此列方程求出AD的長(zhǎng)度.
試題解析:(1)四個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為a,則斜邊上的高為a,
每個(gè)等腰直角三角形的面積為: a×a=a2,
則拼成的新正方形面積為:4×a2=a2,即與原正方形ABCD面積相等,
∴這個(gè)新正方形的邊長(zhǎng)為a;
(2)∵四個(gè)等腰直角三角形的面積和為a2,正方形ABCD的面積為a2,
∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2;
(3)如圖1所示,分別延長(zhǎng)RD,QF,PE,交FA,EC,DB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S,T,W.
由題意易得:△RSF,△QET,△PDW均為底角是30°的等腰三角形,其底邊長(zhǎng)均等于△ABC的邊長(zhǎng).
不妨設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為a,則SF=AC=a.
如答圖2所示,過(guò)點(diǎn)R作RM⊥SF于點(diǎn)M,則MF=SF=a,
在Rt△RMF中,RM=MFtan30°=a×=a,
∴S△RSF=img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2017/12/28/23/c8f2bc24/SYS201712282307356414948798_DA/SYS201712282307356414948798_DA.018.png" width="16" height="41" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />a×a=a2.
過(guò)點(diǎn)A作AN⊥SD于點(diǎn)N,設(shè)AD=AS=x,
則AN=ADsin30°=x,SD=2ND=2ADcos30°=x,
∴S△ADS=SDAN=×x×x=x2.
∵三個(gè)等腰三角形△RSF,△QET,△PDW的面積和=3S△RSF=3×a2=a2,
∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS,
∴=3×x2,得x2=,
解得x=或x=-(不合題意,舍去)
∴x=,即AD的長(zhǎng)為.
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】把拋物線y=(x﹣1)2+2向左平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位,所得拋物線是( )
A.y=x2
B.y=(x﹣2)2
C.y=(x﹣2)2+4
D.y=x2+4
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有Rt△ABC,已知∠CAB=90°,AB=AC,A(-2,0),B(0,1).
(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ;
(2)將△ABC沿x軸正方向平移得到△A′ B′C′,且B,C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′,C′恰好落在反比例函數(shù)的圖象上,求該反比例函數(shù)的解析式.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】計(jì)算下列各題:
(1)﹣11﹣(﹣3)×6
(2)﹣3.5÷ ×(﹣0.75)
(3)﹣32+1+4× ﹣|﹣1 |×(﹣0.5)2 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年《政府工作報(bào)告》中提出了十大新詞匯,為了解同學(xué)們對(duì)新詞匯的關(guān)注度,某數(shù)學(xué)興趣小組選取其中的A:“互聯(lián)網(wǎng)+政務(wù)服務(wù)”,B:“工匠精神”,C:“光網(wǎng)城市”,D:“大眾旅游時(shí)代”四個(gè)熱詞在全校學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,要求被調(diào)查的每位同學(xué)只能從中選擇一個(gè)我最關(guān)注的熱詞.根據(jù)調(diào)查結(jié)果,該小組繪制了如下的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)本次調(diào)查中,一共調(diào)查了多少名同學(xué)?
(2)條形統(tǒng)計(jì)圖中,m= , n=;
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,熱詞B所在扇形的圓心角是多少度?
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=5,D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合),且保持AE=CF,連接DE、DF、EF,在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中,△CEF周長(zhǎng)的最小值是 .
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】去括號(hào)正確的是( )
A.a2﹣(a﹣b+c)=a2﹣a﹣b+c
B.5+a﹣2(3a﹣5)=5+a﹣6a+10
C.3a﹣ (3a2﹣2a)=3a﹣a2﹣ a
D.a3﹣[a2﹣(﹣b)]=a3﹣a2+b
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】單項(xiàng)式xm﹣1y3與4xyn的和是單項(xiàng)式,則nm的值是( )
A.3
B.6
C.8
D.9
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】有下列三個(gè)命題:
(1)兩點(diǎn)之間線段最短
(2)平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)能且只能作一條直線與已知直線垂直
(3)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A.0個(gè)
B.1個(gè)
C.2個(gè)
D.3個(gè)
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無(wú)主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com