【題目】請(qǐng)閱讀下列材料:

小明遇到這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖1,在邊長(zhǎng)為a(a>2)的正方形ABCD各邊上分別截取AE=BF=CG=DH=1,當(dāng)∠AFQ=BGM=GHN=DEP=45°時(shí),求正方形MNPQ的面積.

小明發(fā)現(xiàn),分別延長(zhǎng)QE,MFNG,PHFA,GB,HC,ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,S,TW,可得RQF,SMGTNH,WPE是四個(gè)全等的等腰直角三角形(如圖2) .

請(qǐng)回答:

(1)若將上述四個(gè)等腰直角三角形拼成一個(gè)新的正方形(無(wú)縫隙不重疊),則這個(gè)新正方形的邊為 ;

(2)求正方形MNPQ的面積.

(3)參考小明思考問(wèn)題的方法,解決問(wèn)題:

如圖3,在等邊ABC各邊上分別截取AD=BE=CF,再分別過(guò)點(diǎn)D,E,FBCAC,AB的垂線,得到等邊RPQ.若SRPQ=,求AD的長(zhǎng).

【答案】(1a

2∵△RQFSMG,TNHWPE四個(gè)全等的等腰直角三角形面積和為,正方形ABCD的面積為。

3

【解析】試題分析:(1)四個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為a,其拼成的正方形面積為a2,邊長(zhǎng)為a;

2)如題圖2所示,正方形MNPQ的面積等于四個(gè)虛線小等腰直角三角形的面積之和,據(jù)此求出正方形MNPQ的面積;

3)參照小明的解題思路,對(duì)問(wèn)題做同樣的等積變換.如答圖1所示,三個(gè)等腰三角形△RSF△QET,△PDW的面積和等于等邊三角形△ABC的面積,故陰影三角形△PQR的面積等于三個(gè)虛線等腰三角形的面積之和.據(jù)此列方程求出AD的長(zhǎng)度.

試題解析:(1)四個(gè)等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)為a,則斜邊上的高為a,

每個(gè)等腰直角三角形的面積為: a=a2,

則拼成的新正方形面積為:a2=a2,即與原正方形ABCD面積相等,

這個(gè)新正方形的邊長(zhǎng)為a;

2四個(gè)等腰直角三角形的面積和為a2,正方形ABCD的面積為a2,

S正方形MNPQ=SARE+SDWH+SGCT+SSBF=4SARE=4××12=2;

3)如圖1所示,分別延長(zhǎng)RD,QF,PE,交FA,ECDB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)S,T,W

由題意易得:△RSF,△QET△PDW均為底角是30°的等腰三角形,其底邊長(zhǎng)均等于△ABC的邊長(zhǎng).

不妨設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為a,則SF=AC=a

如答圖2所示,過(guò)點(diǎn)RRMSF于點(diǎn)M,則MF=SF=a,

RtRMF中,RM=MFtan30°==a,

SRSF=img src="http://thumb.1010pic.com/questionBank/Upload/2017/12/28/23/c8f2bc24/SYS201712282307356414948798_DA/SYS201712282307356414948798_DA.018.png" width="16" height="41" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />a=a2

過(guò)點(diǎn)AAN⊥SD于點(diǎn)N,設(shè)AD=AS=x,

AN=ADsin30°=xSD=2ND=2ADcos30°=x,

SADS=SDAN=×x=x2

三個(gè)等腰三角形RSFQET,PDW的面積和=3SRSF=3×a2=a2

∴SRPQ=SADS+SCFT+SBEW=3SADS,

=3×x2,得x2=,

解得x=x=-(不合題意,舍去)

x=,即AD的長(zhǎng)為

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】把拋物線y=(x﹣1)2+2向左平移1個(gè)單位,再向下平移2個(gè)單位,所得拋物線是(
A.y=x2
B.y=(x﹣2)2
C.y=(x﹣2)2+4
D.y=x2+4

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中有RtABC,已知∠CAB=90°,AB=ACA(-2,0),B(0,1).

(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)是 ;

(2)將△ABC沿x軸正方向平移得到△A BC′,且B,C兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′,C′恰好落在反比例函數(shù)的圖象上,求該反比例函數(shù)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】計(jì)算下列各題:
(1)﹣11﹣(﹣3)×6
(2)﹣3.5÷ ×(﹣0.75)
(3)﹣32+1+4× ﹣|﹣1 |×(﹣0.5)2

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】2016年《政府工作報(bào)告》中提出了十大新詞匯,為了解同學(xué)們對(duì)新詞匯的關(guān)注度,某數(shù)學(xué)興趣小組選取其中的A:“互聯(lián)網(wǎng)+政務(wù)服務(wù)”,B:“工匠精神”,C:“光網(wǎng)城市”,D:“大眾旅游時(shí)代”四個(gè)熱詞在全校學(xué)生中進(jìn)行了抽樣調(diào)查,要求被調(diào)查的每位同學(xué)只能從中選擇一個(gè)我最關(guān)注的熱詞.根據(jù)調(diào)查結(jié)果,該小組繪制了如下的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖.

請(qǐng)你根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)本次調(diào)查中,一共調(diào)查了多少名同學(xué)?
(2)條形統(tǒng)計(jì)圖中,m= , n=;
(3)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,熱詞B所在扇形的圓心角是多少度?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=5,D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合),且保持AE=CF,連接DE、DF、EF,在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中,△CEF周長(zhǎng)的最小值是

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】去括號(hào)正確的是( )
A.a2﹣(a﹣b+c)=a2﹣a﹣b+c
B.5+a﹣2(3a﹣5)=5+a﹣6a+10
C.3a﹣ (3a2﹣2a)=3a﹣a2 a
D.a3﹣[a2﹣(﹣b)]=a3﹣a2+b

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】單項(xiàng)式xm1y3與4xyn的和是單項(xiàng)式,則nm的值是(
A.3
B.6
C.8
D.9

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】有下列三個(gè)命題:
(1)兩點(diǎn)之間線段最短
(2)平面內(nèi),過(guò)一點(diǎn)能且只能作一條直線與已知直線垂直
(3)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行
其中真命題的個(gè)數(shù)是( )
A.0個(gè)
B.1個(gè)
C.2個(gè)
D.3個(gè)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案