Question

如圖，平行四邊形ABCD的邊CD的垂直平分線與邊DA，BC的延長線分別交于點E，F(xiàn)，與邊CD交于點O，連結CE，DF．
（1）求證：DE=CF；
（2）請判斷四邊形ECFD的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

考點：菱形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）通過AAS證得△EOD≌△FOC，故全等三角形的對應邊相等：DE=CF；
（2）四邊形ECFD是菱形．通過證明DE=EC=CF=DF，得到四邊形ABCD是菱形．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠EDO=∠FCO，∠DEO=∠CFO，
又∵EF平分CD，
∴DO=CO，
在△EOD與△FOC中，

∠DEO=∠CFO ∠EDO=∠FCO DO=CO

∴△EOD≌△FOC（AAS），
∴DE=CF；

（2）結論：四邊形ECFD是菱形．
證明：∵EF是CD的垂直平分線，
∴DE=EC，CF=DF，
又∵DE=CF，
∴DE=EC=CF=DF，
∴四邊形ABCD是菱形．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)．本題是利用菱形的定義進行證明的．菱形定義：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（平行四邊形+一組鄰邊相等=菱形）．