Question

如圖，直線y=-x+1與x，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，P（a，b）為雙曲線y=

1

2x

（x＞0）上的一動(dòng)點(diǎn)，PM⊥x軸與M，交線段AB于F，PN⊥y軸于N，交線段AB于E
（1）求E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用a，b的式子表示）；
（2）當(dāng)a=

3

4

時(shí)，求△EOF的面積．
（3）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)且線段PM、PN均與線段AB有交點(diǎn)時(shí)，探究：
①BE、EF、FA這三條線段是否能組成一個(gè)直角三角形？說明理由；
②∠EOF的大小是否會(huì)改變？若不變，求出∠EOF的度數(shù)，若會(huì)改變，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題,完全平方式,反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,勾股定理,矩形的判定與性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）易得點(diǎn)E的縱坐標(biāo)為b，點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為a，代入直線的解析式y(tǒng)=-x+1，即可用a，b的式子表示出E、F兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）當(dāng)a=

3

4

時(shí)，可求出線段OM、ON、FM、EN、PE、PF的長(zhǎng)，然后用割補(bǔ)法就可求出△EOF的面積．
（3）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)且線段PM、PN均與線段AB有交點(diǎn)時(shí)，由P（a，b）為雙曲線y=

1

2x

（x＞0）上的一動(dòng)點(diǎn)可得2ab=1．①運(yùn)用勾股定理將BE²、EF²、FA²用a、b的代數(shù)式表示，即可證到BE²+FA²=EF²，從而解決問題；②由直線y=-x+1與x，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)可得OA=OB=1，從而得到∠OAB=45°．運(yùn)用合情推理得出∠EOF=45°，然后只需證明∠EOF=∠OAB即可．要證∠EOF=∠OAB，只需證明△EOF∽△EAO，只需證明OE²=EF•EA，將OE²、EF、EA分別用a、b的代數(shù)式表示，即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，
∵PM⊥x軸與M，交線段AB于F，
∴x_F=x_M=x_P=a．
∵PN⊥y軸于N，交線段AB于E，
∴y_E=y_N=y_P=b．
∵點(diǎn)E、F在直線AB上，
∴y_E=-x_E+1=b．y_F=-x_F+1=-a+1．
∴x_E=1-b，y_F=1-a．
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1-b，b），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（a，1-a）．
（2）當(dāng)a=

3

4

時(shí)，
∵P（a，b）在雙曲線y=

1

2x

（x＞0）上，
∴b=

1

2a

=

2

3

．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

4

，

2

3

），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（

1

3

，

2

3

），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（

3

4

，

1

4

）．
∴ON=

2

3

，NE=

1

3

，OM=

3

4

，F(xiàn)M=

1

4

．
∵直線y=-x+1與x，y軸分別交于A、B兩點(diǎn)，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=1，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，1）；
當(dāng)y=0時(shí)，x=1，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．
∴OA=OB=1．
∵PN⊥OB，PM⊥OA，OA⊥OB，
∴∠PNO=∠NOM=∠OMP=90°．
∴四邊形OMPN是矩形．
∴PM=ON=

2

3

，NP=OM=

3

4

．
∴BN=1-

2

3

=

1

3

，PE=

3

4

-

1

3

=

5

12

，PF=

2

3

-

1

4

=

5

12

．
∴S_△OEF=S_矩形OMPN-S_△ONE-S_△OMF-S_△PEF
=OM•ON-

1

2

ON•NE-

1

2

OM•FM-

1

2

PE•PF
=

3

4

×

2

3

-

1

2

×

2

3

×

1

3

-

1

2

×

3

4

×

1

4

-

1

2

×

5

12

×

5

12

=

1

2

-

1

9

-

3

32

-

25

288

=

5

24

．
∴△OEF的面積為

5

24

．
（3）當(dāng)P運(yùn)動(dòng)且線段PM、PN均與線段AB有交點(diǎn)時(shí)，
①BE、EF、FA這三條線段總能組成一個(gè)直角三角形．
證明：如圖1，
∵PM⊥x軸，F(xiàn)M=1-a，AM=1-a，
∴FA²=FM²+MA²=（1-a）²+（1-a）²=2（1-a）²．
同理可得：BE²=2（1-b）²，
EF²=[a-（1-b）]²+[b-（1-a）]²=2（a+b-1）²．
∵P（a，b）在雙曲線y=

1

2x

（x＞0）上，
∴2ab=1，a＞0，b＞0．
∴EF²=2（a²+b²+1+2ab-2a-2b）
=2（a²+b²+1+1-2a-2b）
=2[（a²-2a+1）+（b²-2b+1）]
=2（1-a）²+2（1-b）²
=FA²+BE²．
∴BE、EF、FA這三條線段總能組成一個(gè)直角三角形．
②∠EOF的大小不變．
證明：過點(diǎn)E作EH⊥OM，垂足為H，如圖2，
∵EN⊥ON，
∴OE²=ON²+EN²=b²+（1-b）²=2b²+1-2b．
∵EH⊥OM，EH=b，AH=1-（1-b）=b，
∴EA=

b2+b2

=

2

b．
同理可得：FA=

2

（1-a）．
∴EF=EA-FA=

2

b-

2

（1-a）=

2

（b+a-1）．
∵2ab=1，
∴EF•EA=

2

（b+a-1）•

2

b
=2（b²+ab-b）
=2b²+2ab-2b
=2b²+1-2b．
∴OE²=EF•EA．
∴

OE

EF

=

EA

OE

．
∵∠OEF=∠AEO，
∴△OEF∽△AEO．
∴∠EOF=∠EAO．
∵OA=OB=1，∠AOB=90°，
∴∠OAB=∠OBA=45°．
∴∠EOF=45°．
∴∠EOF的大小不變，始終等于45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、勾股定理、完全平方公式等知識(shí)，考查了用割補(bǔ)法求圖形的面積，綜合性比較強(qiáng)．而通過合情推理猜想∠EOF=45°，再通過演繹推理證到∠EOF=∠OAE=45°是解決第三小題的第二個(gè)問題的關(guān)鍵．